ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Сумма диагоналей ромба равна 14 см, а его площадь — 24 см\(^2\). Найдите сторону ромба.

Дано: ромб с диагоналями \(AC + BD = 14\) см и площадью \(S = 24\) см².

Площадь ромба через диагонали: \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BD\). Подставляем \(BD = 14 — AC\), получаем уравнение \(24 = \frac{1}{2} AC (14 — AC)\).

Умножаем обе части на 2: \(48 = AC (14 — AC)\), раскрываем скобки: \(48 = 14 AC — AC^2\), приводим к квадратному виду: \(AC^2 — 14 AC + 48 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: дискриминант \(D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 4\), корни \(AC_1 = 6\), \(AC_2 = 8\).

Берём \(AC = 6\), тогда \(BD = 8\). Половины диагоналей: \(AO = 3\), \(BO = 4\).

Сторона ромба по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{3^2 + 4

1. Дано: ромб ABCD, у которого сумма диагоналей \(AC + BD = 14\) см, площадь \(S = 24\) см².

2. Обозначим диагонали: \(AC = x\), тогда \(BD = 14 — x\).

3. Площадь ромба выражается через диагонали формулой \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BD\). Подставляем известные значения:
\(24 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (14 — x)\).

4. Умножаем обе части уравнения на 2:
\(48 = x (14 — x)\).

5. Раскрываем скобки:
\(48 = 14 x — x^{2}\).

6. Приводим уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\(x^{2} — 14 x + 48 = 0\).

7. Вычисляем дискриминант:
\(D = (-14)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 — 192 = 4\).

8. Находим корни уравнения:
\(x_{1} = \frac{14 — \sqrt{4}}{2} = \frac{14 — 2}{2} = 6\),
\(x_{2} = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = 8\).

9. Диагонали равны \(AC = 6\) см и \(BD = 8\) см. Половины диагоналей:
\(AO = \frac{AC}{2} = 3\) см,
\(BO = \frac{BD}{2} = 4\) см.

10. Сторона ромба по теореме Пифагора:
\(AB = \sqrt{AO^{2} + BO^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см.