ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:  

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;  

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

1) Если прямые пересечения двух плоскостей с третьей плоскостью параллельны, это не гарантирует, что сами плоскости параллельны, так как они могут пересекаться по линии, не совпадающей с этими прямыми. Ответ: нет.

2) Если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то плоскости действительно параллельны, так как равенство отрезков на параллельных прямых между плоскостями возможно только при параллельности самих плоскостей. Ответ: да.

1) Пусть даны две плоскости, которые пересекаются с третьей плоскостью. При этом линии пересечения этих плоскостей с третьей плоскостью параллельны друг другу. Такое условие означает, что если обозначить эти линии как \( l_1 \) и \( l_2 \), то \( l_1 \parallel l_2 \). Однако из этого не следует, что сами плоскости параллельны. Две плоскости могут пересекаться по некоторой линии, которая не совпадает с этими параллельными прямыми, и при этом их линии пересечения с третьей плоскостью будут параллельны. Таким образом, параллельность линий пересечения не гарантирует параллельность самих плоскостей.

Далее рассмотрим геометрическую интерпретацию. Пусть плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекаются с плоскостью \( \gamma \). Линии пересечения \( \alpha \cap \gamma = l_1 \) и \( \beta \cap \gamma = l_2 \) параллельны. Но плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) могут пересекаться по линии \( m \), которая не лежит в плоскости \( \gamma \) и не параллельна \( l_1 \) и \( l_2 \). Следовательно, плоскости не обязательно параллельны, несмотря на параллельность линий пересечения с третьей плоскостью.

Таким образом, утверждение о том, что параллельность линий пересечения плоскостей с третьей плоскостью влечёт параллельность самих плоскостей, неверно.

2) Рассмотрим две параллельные прямые, пересекающие две плоскости. Пусть эти прямые обозначены \( a \) и \( b \), и они параллельны: \( a \parallel b \). Рассмотрим отрезки, которые ограничены этими плоскостями на прямых \( a \) и \( b \). Если длины этих отрезков равны, это означает, что расстояние между плоскостями в направлениях, перпендикулярных этим прямым, постоянно.

Поскольку прямые параллельны, и отрезки между плоскостями на этих прямых равны, можно утверждать, что расстояние между плоскостями не меняется вдоль направления, параллельного этим прямым. Если бы плоскости не были параллельны, расстояние между ними изменялось бы, и отрезки на параллельных прямых не были бы равны. Следовательно, равенство отрезков на параллельных прямых, ограниченных двумя плоскостями, является признаком параллельности этих плоскостей.

Таким образом, утверждение, что если отрезки на параллельных прямых между двумя плоскостями равны, то плоскости параллельны, верно.