ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 6.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость \(\beta\), параллельную плоскости \(\alpha\), в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.

Треугольники лежат в параллельных плоскостях, а прямые через вершины \(A, B, C\) параллельны. Значит, \(AB \parallel A_1B_1\), \(AC \parallel A_1C_1\), \(BC \parallel B_1C_1\).

Отрезки \(AB\) и \(A_1B_1\) равны, так как они параллельны и лежат между параллельными плоскостями. Аналогично \(AC = A_1C_1\), \(BC = B_1C_1\).

По трём сторонам треугольники равны: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

1. Пусть треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а плоскость \(\beta\) параллельна плоскости \(\alpha\).

2. Через точки \(A, B, C\) проведены прямые, параллельные друг другу, которые пересекают плоскость \(\beta\) в точках \(A_1, B_1, C_1\) соответственно.

3. Поскольку прямые через \(A, B, C\) параллельны, то отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) параллельны и равны по длине, так как расстояние между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) одинаково.

4. Рассмотрим стороны треугольника \(ABC\): \(AB\), \(BC\), \(AC\).

5. Так как \(AA_1 \parallel BB_1\), а \(AB \parallel A_1B_1\) (по построению), то четырехугольник \(ABB_1A_1\) является параллелограммом.

6. Следовательно, \(AB = A_1B_1\).

7. Аналогично, четырехугольники \(BCC_1B_1\) и \(ACC_1A_1\) — параллелограммы, поэтому \(BC = B_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\).

8. Таким образом, стороны треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) попарно равны: \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(AC = A_1C_1\).

9. По признаку равенства треугольников по трём сторонам имеем \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

10. Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны.