ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 7.23). При некотором параллельном переносе образом точки \( A \) является точка \( A_1 \). Какая фигура является при данном параллельном переносе образом: 1) точки \( D \); 2) отрезка \( AB \); 3) отрезка \( BC \); 4) отрезка \( AC \)?

При параллельном переносе все точки и отрезки смещаются на один и тот же вектор. Так как \( A \) переходит в \( A_1 \), то и все остальные точки переходят в соответствующие точки с индексом 1.

Точка \( D \) перейдет в точку \( D_1 \).

Отрезок \( AB \) перейдет в отрезок \( A_1B_1 \), так как \( A \to A_1 \), \( B \to B_1 \).

Отрезок \( BC \) перейдет в отрезок \( B_1C_1 \).

Отрезок \( AC \) перейдет в отрезок \( A_1C_1 \).

1) При параллельном переносе каждая точка фигуры сдвигается на один и тот же вектор. В условии сказано, что точка \( A \) переходит в точку \( A_1 \). Это означает, что вектор переноса направлен от \( A \) к \( A_1 \). Поскольку все точки куба сдвигаются одинаково, точка \( D \), являющаяся одной из вершин куба, сместится на этот же вектор. Следовательно, образ точки \( D \) при параллельном переносе будет точка \( D_1 \), расположенная на той же позиции относительно \( A_1 \), как \( D \) относительно \( A \).

2) Рассмотрим отрезок \( AB \), который соединяет точки \( A \) и \( B \). При параллельном переносе точки \( A \) и \( B \) переходят соответственно в \( A_1 \) и \( B_1 \). Отрезок — это множество всех точек между \( A \) и \( B \), и при параллельном переносе все эти точки сдвигаются на один и тот же вектор, поэтому образом отрезка \( AB \) станет отрезок \( A_1B_1 \). Это сохраняет длину и направление отрезка, так как параллельный перенос является движением, сохраняющим расстояния.

3) Аналогично, отрезок \( BC \), соединяющий точки \( B \) и \( C \), при параллельном переносе перейдет в отрезок \( B_1C_1 \). Точки \( B \) и \( C \) смещаются на вектор переноса, поэтому весь отрезок сдвигается без изменения формы и размера. Отрезок \( AC \), соединяющий точки \( A \) и \( C \), также будет перемещен на тот же вектор, и его образом станет отрезок \( A_1C_1 \). Таким образом, параллельный перенос сохраняет все геометрические свойства фигур, включая длины и параллельность отрезков.