ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 7.25 изображён куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), на ребре \( CD \) которого отметили точку \( M \). Постройте образ данного куба при симметрии относительно: 1) вершины \( B_1 \); 2) точки \( M \).

При симметрии относительно вершины \( B_1 \) образ каждой точки находится так, чтобы \( B_1 \) была серединой отрезка между точкой и её образом. То есть для точки \( X \) образ \( X’ \) вычисляется по формуле \( X’ = 2B_1 — X \).

При симметрии относительно точки \( M \) (середина ребра \( CD \)) образ каждой точки \( X \) находится так, что \( M \) — середина отрезка \( XX’ \), то есть \( X’ = 2M — X \).

В результате получается два куба: один отражённый относительно \( B_1 \), другой — относительно \( M \), где вершины меняют расположение согласно формулам симметрии.

1) При симметрии относительно вершины \( B_1 \) каждая точка \( X \) куба отображается в точку \( X’ \), для которой выполняется равенство \( B_1 = \frac{X + X’}{2} \). Отсюда получаем формулу для образа точки: \( X’ = 2B_1 — X \).

Для вершин куба:
\( A’ = 2B_1 — A \),
\( C’ = 2B_1 — C \),
\( D’ = 2B_1 — D \),
\( A_1′ = 2B_1 — A_1 \),
\( C_1′ = 2B_1 — C_1 \),
\( D_1′ = 2B_1 — D_1 \).

Таким образом, образ куба — это куб, симметричный исходному относительно точки \( B_1 \), с вершинами, вычисленными по указанным формулам.

2) При симметрии относительно точки \( M \), являющейся серединой ребра \( CD \), каждая точка \( X \) отображается в точку \( X’ \), удовлетворяющую условию \( M = \frac{X + X’}{2} \). Следовательно, образ точки находится по формуле \( X’ = 2M — X \).

Так как \( M \) — середина ребра \( CD \), то:
\( C’ = 2M — C = D \),
\( D’ = 2M — D = C \),
\( C_1′ = 2M — C_1 = D_1 \),
\( D_1′ = 2M — D_1 = C_1 \).

Образы остальных вершин вычисляются аналогично:
\( A’ = 2M — A \),
\( B’ = 2M — B \),
\( A_1′ = 2M — A_1 \),
\( B_1′ = 2M — B_1 \).

В итоге образ куба при симметрии относительно точки \( M \) — это куб, отражённый через середину ребра \( CD \), с вершинами, вычисленными по формуле \( X’ = 2M — X \).