ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 7.26 изображён тетраэдр \( DABC \), на ребре \( AB \) которого отметили точку \( M \). Постройте образ данного тетраэдра при симметрии относительно: 1) вершины \( A \); 2) точки \( M \).

При симметрии относительно вершины \(A\) точка \(A\) остаётся на месте, а остальные вершины \(B, C, D\) отображаются в точки \(B’, C’, D’\) так, что \(A\) — середина отрезков \(BB’, CC’, DD’\).

При симметрии относительно точки \(M\) (середина ребра \(AB\)) точка \(M\) фиксирована, вершины \(A\) и \(B\) меняются местами: \(A’ = B\), \(B’ = A\), а вершины \(C\) и \(D\) отображаются в точки \(C’, D’\) симметрично относительно \(M\).

1) При симметрии относительно вершины \(A\) точка \(A\) остаётся неподвижной, то есть \(A’ = A\).

2) Для любой другой вершины, например \(B\), её образ \(B’\) находится так, что \(A\) является серединой отрезка \(BB’\). Значит, координаты \(B’\) вычисляются по формуле \(B’ = 2A — B\).

3) Аналогично для вершин \(C\) и \(D\) их образы \(C’\) и \(D’\) находятся по формулам \(C’ = 2A — C\) и \(D’ = 2A — D\).

4) Таким образом, тетраэдр \(DABC\) преобразуется в тетраэдр \(D’A’B’C’\), где \(A’ = A\), \(B’ = 2A — B\), \(C’ = 2A — C\), \(D’ = 2A — D\).

5) При симметрии относительно точки \(M\), лежащей на ребре \(AB\), точка \(M\) остаётся неподвижной, \(M’ = M\).

6) Поскольку \(M\) — середина отрезка \(AB\), то \(M = \frac{A + B}{2}\).

7) При симметрии относительно \(M\) вершины \(A\) и \(B\) меняются местами, то есть \(A’ = B\), \(B’ = A\).

8) Для вершин \(C\) и \(D\) их образы \(C’\) и \(D’\) находятся так, что \(M\) является серединой отрезков \(CC’\) и \(DD’\), то есть \(C’ = 2M — C\), \(D’ = 2M — D\).

9) Таким образом, тетраэдр \(DABC\) преобразуется в тетраэдр \(D’A’B’C’\), где \(A’ = B\), \(B’ = A\), \(C’ = 2M — C\), \(D’ = 2M — D\).

10) Итог: при симметрии относительно вершины \(A\) фиксирована точка \(A\), остальные вершины отражаются через неё; при симметрии относительно точки \(M\) на ребре \(AB\) фиксирована точка \(M\), вершины \(A\) и \(B\) меняются местами, остальные отражаются через \(M\).