ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 7.28 изображён тетраэдр \( DABC \), точка \( M \) — середина ребра \( BC \). Постройте образ данного тетраэдра при параллельном переносе, в результате которого: 1) образом точки \( D \) является точка \( B \); 2) образом точки \( A \) является точка \( M \).

При параллельном переносе вектор сдвига определяется образом заданной точки.

1) Образ точки \(D\) — точка \(B\), значит вектор переноса \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}\). Тогда образы остальных точек:

\(A’ = A + \overrightarrow{BD}\), \(B’ = B + \overrightarrow{BD} = D\), \(C’ = C + \overrightarrow{BD}\).

2) Образ точки \(A\) — точка \(M\), значит вектор переноса \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} — \overrightarrow{A}\). Тогда образы остальных точек:

\(B’ = B + \overrightarrow{AM}\), \(C’ = C + \overrightarrow{AM}\), \(D’ = D + \overrightarrow{AM}\).

1) Пусть образ точки \(D\) при параллельном переносе — точка \(B\). Тогда вектор переноса равен \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D}\).

2) Чтобы найти образы остальных вершин тетраэдра, прибавим вектор \(\overrightarrow{BD}\) к координатам точек \(A\), \(B\), \(C\):

\(A’ = A + \overrightarrow{BD}\), \(B’ = B + \overrightarrow{BD} = D\), \(C’ = C + \overrightarrow{BD}\).

3) Таким образом, тетраэдр \(DABC\) при параллельном переносе сдвигается в положение \(B A’ C’\), где \(A’\) и \(C’\) — новые точки, а \(B’\) совпадает с \(D\).

4) Пусть образ точки \(A\) при параллельном переносе — точка \(M\), где \(M\) — середина ребра \(BC\). Тогда вектор переноса равен \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} — \overrightarrow{A}\).

5) Аналогично, образы остальных точек находятся по формуле:

\(B’ = B + \overrightarrow{AM}\), \(C’ = C + \overrightarrow{AM}\), \(D’ = D + \overrightarrow{AM}\).

6) Поскольку \(M\) — середина \(BC\), то \(\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})\).

7) Значит вектор переноса можно записать как \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) — \overrightarrow{A}\).

8) При таком переносе тетраэдр \(DABC\) сдвигается в положение \(D’ M B’ C’\), где \(A’\) совпадает с \(M\), а остальные точки смещены на вектор \(\overrightarrow{AM}\).

9) В обоих случаях параллельный перенос задается сдвигом всех точек на один и тот же вектор, определяемый образом одной из вершин.

10) Итог: для первого случая вектор переноса \(\overrightarrow{BD}\), для второго — \(\overrightarrow{AM}\), что полностью описывает построение образа тетраэдра при параллельном переносе.