ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если отрезок параллелен плоскости проектирования, то его параллельной проекцией является отрезок, равный данному.

Дано: отрезок \( AB \) параллелен плоскости проекции.

Проекция \( A_1B_1 \) отрезка \( AB \) на эту плоскость параллельна \( AB \).

Так как \( AB \parallel \) плоскости, то \( AB \parallel A_1B_1 \).

Следовательно, длина проекции равна длине исходного отрезка: \( A_1B_1 = AB \).

Что и требовалось доказать.

1. Пусть дан отрезок \( AB \) и плоскость \( \alpha \), на которую производится параллельная проекция.

2. Предположим, что отрезок \( AB \) параллелен плоскости \( \alpha \). Это означает, что вектор, направленный вдоль \( AB \), параллелен плоскости \( \alpha \).

3. Параллельная проекция отрезка \( AB \) на плоскость \( \alpha \) обозначается как отрезок \( A_1B_1 \).

4. Так как \( AB \parallel \alpha \), то проекция \( A_1B_1 \) сохраняет направление и длину отрезка \( AB \).

5. Следовательно, векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{A_1B_1} \) коллинеарны и равны по длине.

6. Из этого следует, что \( A_1B_1 = AB \).

7. Таким образом, длина параллельной проекции отрезка \( AB \), если \( AB \parallel \alpha \), равна длине самого отрезка.

8. Это свойство параллельной проекции на плоскость, когда объект параллелен этой плоскости.

9. Итог: \( A_1B_1 = AB \).

10. Что и требовалось доказать.