ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость \( \alpha \) параллельна каждой из скрещивающихся прямых \( a \) и \( b \) и пересекает плоскость \( \beta \). Какая фигура является параллельной проекцией прямых \( a \) и \( b \) на плоскость \( \beta \) в направлении прямой, параллельной плоскости \( \alpha \)?

Плоскость \( \alpha \) параллельна прямым \( a \) и \( b \).

Проекция прямых \( a \) и \( b \) на плоскость \( \beta \) в направлении, параллельном плоскости \( \alpha \), сохраняет параллельность.

Так как \( a \) и \( b \) скрещиваются, их проекции на \( \beta \) будут двумя параллельными прямыми.

1. Пусть даны две скрещивающиеся прямые \( a \) и \( b \), а также плоскость \( \alpha \), параллельная обеим этим прямым.

2. Из условия следует, что плоскость \( \alpha \) параллельна прямым \( a \) и \( b \), то есть \( a \parallel \alpha \) и \( b \parallel \alpha \).

3. Плоскость \( \alpha \) пересекает плоскость \( \beta \) по некоторой прямой \( l \), то есть \( \alpha \cap \beta = l \neq \emptyset \).

4. Рассмотрим параллельную проекцию на плоскость \( \beta \) вдоль направления, параллельного плоскости \( \alpha \). Это направление лежит в плоскости \( \alpha \) и соответственно параллельно прямым \( a \) и \( b \).

5. Так как проекция проводится в направлении, параллельном \( \alpha \), то проекция любой прямой, параллельной \( \alpha \), будет либо прямой, либо точкой на \( \beta \).

6. Прямые \( a \) и \( b \) не лежат в одной плоскости, следовательно, они скрещиваются и не пересекаются.

7. При проекции в направлении, параллельном \( \alpha \), скрещивающиеся прямые \( a \) и \( b \) переходят в две прямые на плоскости \( \beta \).

8. Эти проекции не могут пересекаться, так как направление проекции параллельно самим прямым, и сохраняется их относительное расположение.

9. Следовательно, проекции \( a’ \) и \( b’ \) на плоскость \( \beta \) будут двумя параллельными прямыми.

10. Итог: параллельная проекция скрещивающихся прямых \( a \) и \( b \) на плоскость \( \beta \) в направлении, параллельном плоскости \( \alpha \), даёт две параллельные прямые.