ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекаются. Параллельной проекцией прямых \( a \) и \( b \) как на плоскость \( \alpha \), так и на плоскость \( \beta \) являются параллельные прямые. Верно ли, что прямые \( a \) и \( b \) параллельны?

Пусть \(a\) и \(b\) — прямые, а \(\alpha\) и \(\beta\) — пересекающиеся плоскости. Проекции \(a\) и \(b\) на \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то есть \(a_\alpha \parallel b_\alpha\) и \(a_\beta \parallel b_\beta\).

Если бы \(a \parallel b\), то их проекции на любую плоскость были бы параллельны. Однако обратное не всегда верно: параллельность проекций не гарантирует параллельность самих прямых.

Следовательно, из условия не следует, что \(a \parallel b\).

Ответ: Нет, не верно.

1. Пусть \(a\) и \(b\) — прямые, а \(\alpha\) и \(\beta\) — пересекающиеся плоскости. Из условия известно, что проекции прямых \(a\) и \(b\) на плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Обозначим проекции через \(a_\alpha, b_\alpha\) и \(a_\beta, b_\beta\).

2. По условию: \(a_\alpha \parallel b_\alpha\) и \(a_\beta \parallel b_\beta\).

3. Если бы \(a \parallel b\), то по свойствам параллельных прямых их проекции на любую плоскость были бы параллельны. То есть из \(a \parallel b\) следовало бы \(a_\alpha \parallel b_\alpha\) и \(a_\beta \parallel b_\beta\).

4. Однако обратное утверждение не всегда верно: параллельность проекций не гарантирует параллельность самих прямых. Это связано с тем, что при проецировании могут исчезать компоненты направления, из-за чего проекции выглядят параллельными, хотя сами прямые пересекаются.

5. Рассмотрим пример: прямые \(a\) и \(b\) пересекаются, но их проекции на \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Это возможно, если направления прямых различаются только в направлении, перпендикулярном к плоскостям проекций.

6. Следовательно, из условия \(a_\alpha \parallel b_\alpha\) и \(a_\beta \parallel b_\beta\) нельзя однозначно заключить, что \(a \parallel b\).

7. Значит, утверждение, что \(a\) и \(b\) параллельны, неверно.

8. Ответ: Нет, не верно.