ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждая из двух четвёрок точек \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) и \( A_2, B_2, C_2, D_2 \) является параллельной проекцией точек \( A, B, C, D \) на плоскость \( \alpha \) в направлении непараллельных прямых \( l_1 \) и \( l_2 \) соответственно. Известно, что четырёхугольники \( A_1B_1C_1D_1 \) и \( A_2B_2C_2D_2 \) — трапеции. Верно ли, что точки \( A, B, C \) и \( D \) являются вершинами трапеции?

Даны две параллельные проекции четырёхугольника \(ABCD\) на плоскость \(\alpha\) вдоль непараллельных прямых \(l_1\) и \(l_2\). Проекции \(A_1B_1C_1D_1\) и \(A_2B_2C_2D_2\) — трапеции.

Если \(ABCD\) была бы трапецией, то её проекции на любую плоскость вдоль любых направлений сохраняли бы параллельность соответствующих сторон.

Однако проекции сделаны вдоль непараллельных направлений, и обе проекции получились трапециями, но с разными параллельными сторонами.

Это противоречит сохранению параллельности в исходном четырёхугольнике.

Следовательно, \(ABCD\) не является трапецией.

1. Пусть \(A, B, C, D\) — вершины четырёхугольника в пространстве, а \(A_1, B_1, C_1, D_1\) и \(A_2, B_2, C_2, D_2\) — его параллельные проекции на плоскость \(\alpha\) по направлениям \(l_1\) и \(l_2\) соответственно.

2. Из условия известно, что четырёхугольники \(A_1B_1C_1D_1\) и \(A_2B_2C_2D_2\) являются трапециями. Значит, в каждой проекции есть параллельные стороны.

3. Проекция вдоль направления \(l_1\) сохраняет параллельность тех сторон четырёхугольника, которые параллельны \(l_1\), а проекция вдоль \(l_2\) — тех, которые параллельны \(l_2\).

4. Поскольку направления \(l_1\) и \(l_2\) непараллельны, сохранение параллельности сторон в обеих проекциях возможно только если исходный четырёхугольник \(ABCD\) имеет две пары параллельных сторон, которые параллельны соответственно \(l_1\) и \(l_2\).

5. Однако трапеция имеет только одну пару параллельных сторон. Значит, если \(ABCD\) была бы трапецией, то проекции вдоль двух непараллельных направлений не могли бы обе быть трапециями.

6. Следовательно, исходный четырёхугольник \(ABCD\) не может быть трапецией, так как параллельность сторон не сохраняется одновременно в двух проекциях по непараллельным направлениям.

7. Таким образом, несмотря на то, что проекции \(A_1B_1C_1D_1\) и \(A_2B_2C_2D_2\) — трапеции, четырёхугольник \(ABCD\) не является трапецией.

8. Итог: утверждение, что \(ABCD\) — трапеция, неверно.