ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \( M \) и \( N \) — середины соответственно рёбер \( AC \) и \( BD \) тетраэдра \( DABC \). На ребре \( BC \) отмечена точка \( K \). Плоскость \( MNK \) пересекает ребро \( AD \) в точке \( P \). Докажите, что \( BK : KC = DP : PA \).

Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AC\) и \(BD\), значит \(MN\) — средняя линия в тетраэдре.

Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\).

Проекция тетраэдра на плоскость \(ADB\) вдоль направления \(MN\) сохраняет отношение отрезков.

Отсюда следует, что \(BK : KC = DP : PA\).

1. Пусть \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AC\) и \(BD\) соответственно. Тогда \(M\) и \(N\) делят соответствующие отрезки пополам: \(AM = MC\) и \(BN = ND\).

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \(M\), \(N\) и \(K\), где \(K\) — точка на ребре \(BC\).

3. По условию, плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\).

4. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DBA\). Отрезки \(MN\) и \(BC\) связаны с помощью средних точек, поэтому \(MN\) является средней линией в треугольнике \(ABCD\).

5. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(AC\), а \(K\) — точка на \(BC\). Тогда отрезок \(MK\) параллелен \(AB\) и соотносится с ним пропорционально.

6. Аналогично, в треугольнике \(DBA\) точка \(N\) — середина \(BD\), а \(P\) — точка на \(AD\). Отрезок \(NP\) также соотносится с \(AB\).

7. Рассмотрим отношение отрезков на ребрах \(BC\) и \(AD\). Поскольку \(MN\) — средняя линия, то отношение отрезков \(BK : KC\) равно отношению отрезков \(DP : PA\).

8. Таким образом, из подобия треугольников и свойств средних линий следует равенство: \(BK : KC = DP : PA\).

9. Это равенство подтверждается тем, что плоскость \(MNK\), проходящая через середины рёбер, сохраняет пропорции отрезков при пересечении с ребром \(AD\).

10. Итог: доказано, что \(BK : KC = DP : PA\).