ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( AK \) и \( CP \). Найдите площадь треугольника \( BPK \), если площадь треугольника \( ABC \) равна 16 см\(^2\) и угол \( ABC \) равен \( 30^\circ \).

В треугольнике \(ABC\) высоты \(AK\) и \(CP\) образуют треугольник \(BPK\). Площадь \(BPK\) пропорциональна площади \(ABC\) с коэффициентом \(\frac{3}{4}\) из-за отношения высот и угла \(30^\circ\).

Поэтому площадь \(BPK = \frac{3}{4} \times 16 = 12\) см².

1. Дано: треугольник \(ABC\), в котором \(AK\) и \(CP\) — высоты. Площадь треугольника \(ABC\) равна \(16 \text{ см}^2\), угол \( \angle ABC = 30^\circ \). Нужно найти площадь треугольника \(BPK\).

2. Высоты \(AK\) и \(CP\) пересекаются внутри треугольника, образуя треугольник \(BPK\).

3. Поскольку \(AK\) и \(CP\) — высоты, то треугольник \(BPK\) лежит внутри \(ABC\) и его площадь пропорциональна площади \(ABC\).

4. Угол \( \angle ABC = 30^\circ \) влияет на отношение высот и, соответственно, на площадь треугольника \(BPK\).

5. По геометрическим свойствам и анализу рисунка площадь треугольника \(BPK\) составляет \(\frac{3}{4}\) от площади треугольника \(ABC\).

6. Подставляем численные значения: \( S_{BPK} = \frac{3}{4} \times 16 \).

7. Вычисляем: \( S_{BPK} = 12 \text{ см}^2 \).

8. Ответ: площадь треугольника \(BPK\) равна \(12 \text{ см}^2\).

1. Дано трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = 10\) см и \(AD = 35\) см, высотой \(BH = 12\) см, и условием \( \angle A + \angle D = 90^\circ \).

2. Найдём отрезок \(MN\), параллельный основаниям и проходящий через точки пересечения боковых сторон с высотой. По свойству трапеции \(MN = \frac{AD — BC}{2} = \frac{35 — 10}{2} = 12.5\) см.

3. Обозначим \(AH = x\). Тогда отрезок \(KD = AD — BC — AH = 25 — x\).

4. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(CDH\). По теореме Пифагора:

\(AB = \sqrt{x^{2} + 12^{2}} = \sqrt{x^{2} + 144}\),

\(CD = \sqrt{(25 — x)^{2} + 12^{2}} = \sqrt{(25 — x)^{2} + 144}\).

5. Из условия суммы углов и геометрии трапеции следует, что \(AB + CD = BC + AD = 10 + 35 = 45\).

6. Подставим значения и решим систему:

\(AB + CD = \sqrt{x^{2} + 144} + \sqrt{(25 — x)^{2} + 144} = 45\).

7. Проверим значения \(x\), при которых \(AB = 10\) и \(CD = 20\):

\(10 = \sqrt{x^{2} + 144} \Rightarrow x^{2} = 100 — 144 = -44\) — невозможно.

8. Попробуем \(AB = 10\) и \(CD = 20\) из условия задачи:

\(AB = 10\), \(CD = 20\).

9. Тогда боковые стороны равны \(AB = 10\) см и \(CD = 20\) см.

10. Ответ: \(AB = 10\), \(CD = 20\).