ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть: 1) две пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) одна прямая; 4) прямая и точка вне её?

Параллельная проекция сохраняет инцидентность, но может изменять углы и длины.

1) Пересекающиеся прямые могут проецироваться в пересекающиеся, так как проекция сохраняет точку пересечения.

2) Пересекающиеся прямые не могут проецироваться в параллельные, так как параллельность не может возникнуть из пересечения при параллельной проекции.

3) Пересекающиеся прямые могут проецироваться в одну прямую, если проекция «схлопывает» обе прямые на одну линию.

4) Пересекающиеся прямые не могут проецироваться в прямую и отдельную точку вне неё, так как обе исходные прямые пересекаются и должны иметь общую проекцию.

1) Рассмотрим две прямые, пересекающиеся в точке \(O\). При параллельной проекции каждая точка пространства проецируется на плоскость проекции по направлению, параллельному заданному вектору проекции. Точка пересечения \(O\) обеих прямых проецируется в точку \(O’\), которая принадлежит проекциям обеих прямых. Поскольку \(O’\) — общая точка проекций, то проекции двух пересекающихся прямых также пересекаются. Это означает, что параллельная проекция сохраняет факт пересечения прямых, поскольку инцидентность точек и прямых не нарушается. Следовательно, параллельной проекцией двух пересекающихся прямых могут быть две пересекающиеся прямые.

2) Если бы проекции двух пересекающихся прямых были параллельными, то они не имели бы общей точки пересечения на плоскости проекции. Однако параллельная проекция сохраняет инцидентность, то есть если две прямые пересекаются в пространстве, то их проекции не могут стать непересекающимися. Появление параллельных проекций означало бы потерю точки пересечения, что противоречит свойствам параллельной проекции. Поэтому параллельные прямые не могут быть проекцией двух пересекающихся прямых.

3) В случае, если направление проецирования совпадает с направлением одной из прямых или лежит в плоскости, содержащей обе прямые, возможно, что обе исходные пересекающиеся прямые проецируются в одну и ту же прямую на плоскости проекции. Это происходит, когда проекция «схлопывает» обе прямые в одну линию, поскольку проекция происходит вдоль направления, параллельного плоскости проекции или одной из прямых. В таком случае проекция двух пересекающихся прямых — одна прямая.

4) Проекция двух пересекающихся прямых в одну прямую и точку вне неё невозможна, так как точка, принадлежащая одной из прямых, при параллельной проекции не может оказаться вне проекции второй прямой, если исходные прямые пересекаются. Параллельная проекция сохраняет взаимное расположение точек и прямых, поэтому проекция не может разорвать связь между ними, превращая одну из прямых в точку, лежащую вне другой. Следовательно, проекция в виде прямой и точки вне неё невозможна для двух пересекающихся прямых.