ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

1) Могут ли равные отрезки служить параллельными проекциями неравных отрезков? 2) Могут ли неравные отрезки служить параллельными проекциями равных отрезков? 3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше данного отрезка? 4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?

1) Равные отрезки могут быть параллельными проекциями неравных отрезков, так как длина проекции зависит от угла между отрезком и направлением проекции.

2) Неравные отрезки могут служить параллельными проекциями равных отрезков по той же причине — разный угол проекции изменяет длину.

3) Параллельная проекция отрезка не может быть больше самого отрезка, так как проекция — это длина тени, которая не превышает исходную длину: \( |A’B’| \leq |AB| \).

4) Параллельная проекция прямой не может быть параллельна данной прямой, если направление проекции не совпадает с направлением прямой; иначе проекция вырождается в точку.

1) Пусть даны два неравных отрезка \( AB \) и \( CD \), длины которых \( |AB| \neq |CD| \). Рассмотрим их параллельные проекции на направление, образующее разные углы с этими отрезками. Проекция отрезка \( AB \) равна \( |A’B’| = |AB| \cos \alpha \), а проекция отрезка \( CD \) равна \( |C’D’| = |CD| \cos \beta \), где углы \(\alpha\) и \(\beta\) могут быть выбраны так, что \( |A’B’| = |C’D’| \). Следовательно, равные отрезки могут быть параллельными проекциями неравных отрезков.

2) Пусть даны два равных отрезка \( AB \) и \( CD \), \( |AB| = |CD| \). При параллельной проекции длина проекции зависит от угла между отрезком и направлением проекции. Если для \( AB \) угол проекции \(\alpha\), а для \( CD \) угол \(\beta\), и \(\cos \alpha \neq \cos \beta\), то длины проекций будут неравны: \( |A’B’| = |AB| \cos \alpha \neq |CD| \cos \beta = |C’D’| \). Значит, неравные отрезки могут быть параллельными проекциями равных отрезков.

3) Пусть отрезок \( AB \) с длиной \( |AB| \) и его параллельная проекция \( A’B’ \) на направление с углом \(\theta\) к отрезку. Длина проекции равна \( |A’B’| = |AB| \cos \theta \). Так как \( |\cos \theta| \leq 1 \), то всегда \( |A’B’| \leq |AB| \). Следовательно, параллельная проекция отрезка не может быть больше самого отрезка.

4) Рассмотрим прямую \( l \) и её параллельную проекцию на направление, заданное вектором \( \vec{d} \). Если прямая \( l \) параллельна направлению проекции, то проекция всей прямой вырождается в точку, так как все точки проецируются на одну точку. Если же проекция параллельна прямой \( l \), но направление проекции не совпадает с направлением \( l \), то это невозможно, так как проекция изменяет направление, кроме случая совпадения направления проекции с прямой. Следовательно, параллельная проекция прямой не может быть параллельна данной прямой.