ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 7.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \), углы \( A_1, B_1, C_1 \) и \( D_1 \) которого соответственно равны: 1) \(10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ\); 2) \(50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ\)?

Параллельной проекцией трапеции является четырёхугольник, у которого сумма углов при основаниях равна 180°.

1) Углы \(10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ\) не образуют пары с суммой 180°:
\(10^\circ + 40^\circ = 50^\circ \neq 180^\circ\),
\(140^\circ + 170^\circ = 310^\circ \neq 180^\circ\).
Значит, такой четырёхугольник не может быть параллельной проекцией трапеции.

2) Углы \(50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ\) образуют пары с суммой 180°:
\(50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\),
\(50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\).
Значит, такой четырёхугольник может быть параллельной проекцией трапеции.

1) Трапеция — это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами. При параллельной проекции сохраняется соотношение параллельности, поэтому проекция трапеции также должна иметь пару сторон, сумма углов при этих сторонах равна \(180^\circ\).

Пусть углы четырёхугольника \(A_1B_1C_1D_1\) равны соответственно \(10^\circ, 40^\circ, 140^\circ, 170^\circ\).

Проверим суммы углов при предполагаемых основаниях:
\(10^\circ + 40^\circ = 50^\circ \neq 180^\circ\),
\(140^\circ + 170^\circ = 310^\circ \neq 180^\circ\).

Так как ни одна пара углов не даёт сумму \(180^\circ\), такой четырёхугольник не может быть параллельной проекцией трапеции.

2) Пусть углы четырёхугольника \(A_1B_1C_1D_1\) равны \(50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ\).

Проверим суммы углов при предполагаемых основаниях:
\(50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\),
\(50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\).

Так как обе пары углов при основаниях имеют сумму \(180^\circ\), такой четырёхугольник может быть параллельной проекцией трапеции.