ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллелограмм \( A_1B_1C_1D_1 \) является изображением прямоугольника \( ABCD \) (рис. 8.23). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону \( BC \).

Точка пересечения диагоналей прямоугольника \(O\) является серединой диагоналей.

Проведём перпендикуляр из точки \(O\) на сторону \(BC\). Обозначим точку основания перпендикуляра как \(H\).

В прямоугольнике \(ABC\) угол \(B\) равен \(90^\circ\), значит сторона \(BC\) вертикальна или горизонтальна.

Перпендикуляр из \(O\) на \(BC\) совпадает с расстоянием от \(O\) до \(BC\).

В параллелограмме \(A_1B_1C_1D_1\) перпендикуляр из \(O\) на сторону \(B_1C_1\) будет изображением этого перпендикуляра.

На рисунке длина перпендикуляра равна 4, что соответствует построению перпендикуляра из \(O\) на \(B_1C_1\).

1. В прямоугольнике \( ABCD \) диагонали равны и пересекаются в точке \( O \), которая является серединой каждой диагонали, значит \( O \) — середина отрезков \( AC \) и \( BD \).

2. Координаты точки \( O \) можно найти как среднее арифметическое координат концов диагонали: если \( A(x_1,y_1) \) и \( C(x_2,y_2) \), то \( O \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \).

3. Сторона \( BC \) прямоугольника является либо горизонтальной, либо вертикальной линией, так как \( ABCD \) — прямоугольник.

4. Для построения перпендикуляра из точки \( O \) на сторону \( BC \) нужно опустить из \( O \) перпендикуляр к прямой, содержащей \( BC \).

5. Если \( BC \) вертикальна, то перпендикуляр будет горизонтальным, и точка основания перпендикуляра \( H \) будет иметь ту же ординату, что и \( O \), а абсциссу стороны \( BC \).

6. Если \( BC \) горизонтальна, то перпендикуляр будет вертикальным, и точка \( H \) будет иметь ту же абсциссу, что и \( O \), а ординату стороны \( BC \).

7. В параллелограмме \( A_1B_1C_1D_1 \), являющемся изображением прямоугольника \( ABCD \), точка \( O \) остаётся точкой пересечения диагоналей, и перпендикуляр из \( O \) на сторону \( B_1C_1 \) соответствует перпендикуляру из \( O \) на \( BC \).

8. Длина перпендикуляра равна расстоянию от точки \( O \) до прямой \( BC \), которое можно вычислить по формуле расстояния от точки до прямой.

9. По условию рисунка длина перпендикуляра равна 4, что подтверждает правильность построения.

10. Итог: перпендикуляр из точки пересечения диагоналей прямоугольника на сторону \( BC \) проведён корректно и равен 4 в изображении параллелограмма.