ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) — изображение треугольника \( ABC \). Постройте изображение биссектрисы треугольника \( ABC \), проведённой из вершины \( B \), если \( AB : BC = 1 : 2 \).

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) биссектриса из вершины \( B \) совпадает с медианой и высотой.

Центр вписанной окружности \( O \) находится на пересечении биссектрис, следовательно, точка \( O_1 \) лежит на биссектрисе из вершины \( B_1 \).

Так как \( AB : AC = 5 : 4 \) и треугольник равнобедренный, то биссектриса делит основание \( A_1C_1 \) пополам, а центр вписанной окружности находится на этой биссектрисе ближе к основанию.

Таким образом, изображение центра вписанной окружности — точка \( O_1 \) на биссектрисе \( B_1 \), как показано на рисунке.

1. Треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), значит стороны \( AB \) и \( BC \) равны, то есть \( AB = BC \).

2. Отношение сторон \( AB : AC = 5 : 4 \) указывает на пропорциональность, но не влияет на факт равнобедренности и свойства биссектрис.

3. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины \( B \), совпадают. Это значит, что биссектриса из вершины \( B \) делит основание \( AC \) пополам.

4. Центр вписанной окружности \( O \) — точка пересечения биссектрис углов треугольника \( ABC \).

5. Так как биссектриса из \( B \) совпадает с медианой, то точка \( O \) лежит на отрезке, соединяющем вершину \( B \) с серединой основания \( AC \).

6. Для построения изображения центра вписанной окружности \( O_1 \) треугольника \( A_1B_1C_1 \) нужно провести биссектрису угла \( B_1 \), которая совпадает с медианой и высотой, и отметить точку \( O_1 \) на ней.

7. Точка \( O_1 \) находится внутри треугольника, ближе к основанию \( A_1C_1 \), так как центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

8. Таким образом, изображение центра вписанной окружности \( O_1 \) — это точка на биссектрисе из вершины \( B_1 \), совпадающей с медианой и высотой, делящей основание \( A_1C_1 \) пополам.

9. Отношение \( AB : AC = 5 : 4 \) подтверждает, что треугольник не равносторонний, но не меняет расположение центра вписанной окружности на биссектрисе.

10. Итог: точка \( O_1 \), изображающая центр вписанной окружности треугольника \( ABC \), находится на биссектрисе из вершины \( B_1 \), делящей основание \( A_1C_1 \) пополам, как показано на рисунке.