ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) — изображение равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( AC \). Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника \( ABC \), если высота \( AM \) этого треугольника делит сторону \( BC \) на отрезки \( BM \) и \( MC \) так, что \( BM = 5MC \).

Пусть длина отрезка \( MC = x \), тогда \( BM = 5x \), значит \( BC = 6x \).

Так как \( A_1B_1C_1 \) — изображение треугольника \( ABC \), где \( AM \) — высота, точка \( M \) делит сторону \( BC \) в отношении \( 5:1 \).

Центр описанной окружности \( O \) — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Построение:

1. Найти середины отрезков \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \).
2. Провести перпендикуляры к этим отрезкам через их середины.
3. Точка пересечения этих перпендикуляров — центр описанной окружности \( O_1 \).

Таким образом, изображение центра описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \).

1. Пусть точка \( M \) делит сторону \( BC \) в отношении \( BM : MC = 5 : 1 \). Обозначим \( MC = x \), тогда \( BM = 5x \), и длина стороны \( BC = 6x \).

2. Так как \( AM \) — высота треугольника \( ABC \), то угол \( AMB \) прямой, то есть \( AM \perp BC \).

3. Треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), значит \( AB = BC \).

4. Для построения центра описанной окружности \( O \) нужно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Найдем середины сторон \( AB \) и \( BC \). Середина \( AB \) — точка \( N \), середина \( BC \) — точка \( P \).

6. Построим серединные перпендикуляры к отрезкам \( AB \) и \( BC \). Перпендикуляр к \( AB \) проходит через \( N \), перпендикуляр к \( BC \) — через \( P \).

7. Точка пересечения этих перпендикуляров — центр описанной окружности \( O \).

8. На изображении \( A_1B_1C_1 \) построить серединные перпендикуляры к сторонам \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \).

9. Пересечение серединных перпендикуляров на изображении будет точкой \( O_1 \) — изображением центра описанной окружности треугольника \( ABC \).

10. Таким образом, изображение центра описанной окружности строится как точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника \( A_1B_1C_1 \).