ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) — изображение треугольника \( ABC \) (рис. 8.30), отрезки \( A_1D_1 \) и \( C_1E_1 \) — изображения соответственно высот \( AD \) и \( CE \) треугольника \( ABC \). Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника \( ABC \).

Центр описанной окружности треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

На изображении точка \( O_1 \) — это пересечение серединных перпендикуляров треугольника \( A_1B_1C_1 \), значит \( O_1 \) — изображение центра описанной окружности треугольника \( ABC \).

1. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

2. Для нахождения центра описанной окружности треугольника \( ABC \) необходимо построить серединные перпендикуляры к сторонам \( AB \), \( BC \) или \( AC \).

3. На изображении треугольник \( A_1B_1C_1 \) является изображением треугольника \( ABC \), а отрезки \( A_1D_1 \) и \( C_1E_1 \) — изображениями высот \( AD \) и \( CE \).

4. Высоты не совпадают с серединными перпендикулярами, поэтому для построения центра описанной окружности нужно провести перпендикуляры к сторонам треугольника \( A_1B_1C_1 \) в точках, являющихся серединой этих сторон.

5. Построим серединные перпендикуляры к двум сторонам, например, к \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \).

6. Найдем середины отрезков \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \), обозначим их как \( M_1 \) и \( N_1 \) соответственно.

7. Проведем перпендикуляры к сторонам \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \) в точках \( M_1 \) и \( N_1 \).

8. Точка пересечения этих серединных перпендикуляров обозначим \( O_1 \).

9. Точка \( O_1 \) является центром описанной окружности треугольника \( A_1B_1C_1 \), а значит, это изображение центра описанной окружности треугольника \( ABC \).

10. Ответ: центр описанной окружности треугольника \( ABC \) изображён точкой \( O_1 \) на рисунке.