ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллелограмм \( A_1B_1C_1D_1 \) — изображение ромба \( ABCD \). Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей ромба на сторону \( AD \), если \( \angle A = 60^\circ \).

Для построения высоты из вершины \( A \) ромба \( ABCD \) к стороне \( BC \) нужно из точки \( A \) провести перпендикуляр к стороне \( BC \).

Поскольку угол при вершине \( A \) равен \( 60^\circ \), высота будет опущена под прямым углом к стороне \( BC \).

Обозначим точку пересечения перпендикуляра с \( BC \) как \( H \). Тогда \( A H \perp BC \), и отрезок \( A H \) — искомая высота ромба.

1. Рассмотрим ромб \( ABCD \) с углом при вершине \( A \), равным \( 60^\circ \).

2. По свойству ромба все стороны равны, значит \( AB = BC = CD = DA \).

3. Для построения высоты из вершины \( A \) к стороне \( BC \) необходимо провести перпендикуляр из точки \( A \) на прямую, содержащую сторону \( BC \).

4. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с \( BC \) как \( H \).

5. По определению высоты, отрезок \( AH \) должен быть перпендикулярен стороне \( BC \), то есть \( AH \perp BC \).

6. Так как угол при вершине \( A \) равен \( 60^\circ \), то угол между сторонами \( AB \) и \( AD \) равен \( 60^\circ \).

7. В треугольнике \( ABC \) с равными сторонами \( AB = BC \) и углом \( 60^\circ \) при вершине \( B \), высота \( AH \) делит сторону \( BC \) на две равные части.

8. Следовательно, точка \( H \) — середина стороны \( BC \).

9. Длина высоты \( AH \) вычисляется по формуле для высоты ромба: \( AH = AB \sin 60^\circ = AB \frac{\sqrt{3}}{2} \).

10. Итог: высота ромба из вершины \( A \) к стороне \( BC \) — отрезок \( AH \), проведённый перпендикулярно к стороне \( BC \), где \( H \) — середина \( BC \), а длина высоты равна \( AB \frac{\sqrt{3}}{2} \).