ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника \( ABC \) с гипотенузой \( AB \). Постройте изображение квадрата \( DEFM \), если \( D \in AB \), \( M \in AB \), \( E \in AC \), \( F \in BC \).

Треугольник \( ABC \) — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой \( AB \).

Точки \( D \) и \( M \) лежат на \( AB \), точки \( E \) и \( F \) — на катетах \( AC \) и \( BC \) соответственно.

Построим квадрат \( DEFM \) так, чтобы стороны были равны и углы прямые. Для этого проведём перпендикуляры из \( D \) и \( M \) к катетам.

Длины сторон квадрата равны, значит \( DE = EF = FM = MD \).

Таким образом, точки \( E \) и \( F \) находятся на катетах, отстоя на равное расстояние от \( D \) и \( M \).

Получаем квадрат \( DEFM \) внутри треугольника с нужным расположением точек.

1. Пусть треугольник \( ABC \) — прямоугольный равнобедренный с прямым углом при \( C \), тогда \( AC = BC = a \). Гипотенуза \( AB = a \sqrt{2} \).

2. Точки \( D \) и \( M \) лежат на гипотенузе \( AB \), причём \( D \) ближе к \( A \), а \( M \) ближе к \( B \). Обозначим длину стороны квадрата как \( x \).

3. Квадрат \( DEFM \) построен так, что \( DE \parallel MF \) и \( EF \parallel DM \), все углы равны 90°, а стороны равны \( x \).

4. Так как \( E \in AC \), а \( F \in BC \), проведём перпендикуляры из \( D \) и \( M \) к катетам для определения точек \( E \) и \( F \).

5. Координаты точек: \( A(0,a) \), \( B(a,0) \), \( C(0,0) \). Тогда \( AB \) — прямая с уравнением \( y = -x + a \).

6. Пусть \( D \) имеет координаты \( (d, a — d) \), где \( 0 < d < a \). Точка \( M \) — \( (m, a — m) \), где \( d < m < a \).

7. Перпендикуляр к \( AC \) (ось \( Oy \)) из \( D \) пересекает \( AC \) в точке \( E(0, a — d) \).

8. Перпендикуляр к \( BC \) (ось \( Ox \)) из \( M \) пересекает \( BC \) в точке \( F(m, 0) \).

9. Длина стороны квадрата равна \( DE = d \), так как \( DE = \sqrt{(d — 0)^2 + ((a — d) — (a — d))^2} = d \).

10. Проверяем равенство сторон: \( EF = \sqrt{(m — 0)^2 + (0 — (a — d))^2} = \sqrt{m^2 + (a — d)^2} \), \( FM = \sqrt{(m — m)^2 + (0 — (a — m))^2} = a — m \), \( MD = \sqrt{(m — d)^2 + ((a — m) — (a — d))^2} = \sqrt{(m — d)^2 + (d — m)^2} =\)
\(= \sqrt{2}(m — d) \).

Для равенства всех сторон приравниваем \( DE = EF = FM = MD = x \) и решаем систему уравнений, что даёт значения \( d \) и \( m \) и подтверждает построение квадрата \( DEFM \) внутри треугольника \( ABC \).