ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Эллипс с центром \( O_1 \) является изображением окружности с центром \( O \) (рис. 8.32), отрезок \( A_1B_1 \) — изображение диаметра \( AB \) данной окружности. Постройте изображение диаметра, перпендикулярного диаметру \( AB \).

Эллипс с центром \( O_1 \) — проекция окружности с центром \( O \).

Отрезок \( A_1B_1 \) — изображение диаметра \( AB \) окружности.

Диаметр, перпендикулярный \( AB \), при проекции будет изображён отрезком \( C_1D_1 \), проходящим через \( O_1 \) и перпендикулярным \( A_1B_1 \).

Постройте через \( O_1 \) прямую, перпендикулярную \( A_1B_1 \), и отметьте на эллипсе точки \( C_1 \) и \( D_1 \).

Отрезок \( C_1D_1 \) — искомое изображение перпендикулярного диаметра.

1. Эллипс с центром \( O_1 \) является проекцией окружности с центром \( O \). Центр \( O \) окружности переходит в центр \( O_1 \) эллипса.

2. Отрезок \( A_1B_1 \) — изображение диаметра \( AB \) окружности. Диаметр \( AB \) проходит через центр \( O \) и является прямой, проходящей через две точки окружности.

3. Диаметры окружности, перпендикулярные друг другу, пересекаются в центре \( O \) под углом 90 градусов. Значит, диаметр, перпендикулярный \( AB \), можно обозначить как \( CD \), где \( CD \perp AB \) и \( O \in CD \).

4. При проекции окружности на плоскость эллипса диаметр \( CD \) переходит в отрезок \( C_1D_1 \), который является изображением диаметра, перпендикулярного \( AB \).

5. Поскольку проекция сохраняет пересечение в центре, \( C_1D_1 \) проходит через центр эллипса \( O_1 \).

6. Для построения \( C_1D_1 \) необходимо провести через \( O_1 \) прямую, перпендикулярную отрезку \( A_1B_1 \).

7. Перпендикулярность определяется условием: если вектор \( \overrightarrow{A_1B_1} = (x, y) \), то вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) будет \( (-y, x) \).

8. Отметьте на эллипсе точки \( C_1 \) и \( D_1 \), лежащие на этой перпендикулярной прямой и принадлежащие эллипсу.

9. Отрезок \( C_1D_1 \), соединяющий эти точки, и есть искомое изображение диаметра, перпендикулярного \( AB \).

10. Таким образом, построение сводится к нахождению через центр \( O_1 \) прямой, перпендикулярной \( A_1B_1 \), и определению её пересечений с эллипсом для получения точек \( C_1 \) и \( D_1 \).