ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \( A_1, B_1 \) и \( O_1 \) являются изображениями соответственно вершин \( A, B \) и центра \( O \) правильного треугольника \( ABC \) (рис. 8.37). Постройте изображение данного треугольника.

Построим равносторонний треугольник, отметим его вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). В центре треугольника проведём точку пересечения медиан — это будет точка \(O_1\).

Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение исходного треугольника \(ABC\), а точка \(O_1\) — изображение центра \(O\).

1. Пусть дан правильный треугольник \(ABC\), его изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), а изображение центра — точка \(O_1\).

2. Правильный треугольник обладает равными сторонами: \(A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1\).

3. Центр треугольника \(O_1\) находится на пересечении медиан. Для правильного треугольника медианы равны и делятся в отношении \(2:1\) от вершины.

4. Обозначим координаты вершин треугольника: пусть \(A_1(0, 0)\), \(B_1(a, 0)\), \(C_1\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\), где \(a\) — длина стороны.

5. Центр треугольника \(O_1\) вычисляется по формуле: \(O_1\left(\frac{x_{A_1} + x_{B_1} + x_{C_1}}{3}, \frac{y_{A_1} + y_{B_1} + y_{C_1}}{3}\right)\).

6. Подставим координаты: \(O_1\left(\frac{0 + a + \frac{a}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{3}\right) = \left(\frac{3a/2}{3}, \frac{a\sqrt{3}/2}{3}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}\right)\).

7. Строим треугольник \(A_1B_1C_1\) с указанными координатами на рисунке.

8. Внутри треугольника отмечаем точку \(O_1\) с найденными координатами.

9. Подписываем вершины: левый нижний угол — \(A_1\), верхний — \(B_1\), правый — \(C_1\).

10. Отмечаем точку \(O_1\) — центр треугольника, изображение точки \(O\).