ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) является изображением прямоугольного треугольника \( ABC \), отрезок \( A_1B_1 \) — изображением его гипотенузы \( AB \). Постройте изображение биссектрисы треугольника \( ABC \), проведённой из вершины \( B \), если \( \angle A = 30^\circ \).

Пусть треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение прямоугольного треугольника \(ABC\), где \(\angle C_1 = 90^\circ\), \(\angle A_1 = 30^\circ\), \(\angle B_1 = 60^\circ\).

Биссектриса из вершины \(B_1\) делит угол \(60^\circ\) пополам, то есть угол между биссектрисой и сторонами \(B_1A_1\) и \(B_1C_1\) будет по \(30^\circ\).

На рисунке биссектриса выходит из точки \(B_1\) и пересекает сторону \(A_1C_1\) в точке \(K_1\).

Ответ: отрезок \(B_1K_1\) — изображение биссектрисы, проведённой из вершины \(B\) треугольника \(ABC\).

1. Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\). На чертеже его изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), где \(A_1B_1\) — гипотенуза, \(C_1\) — вершина прямого угла.

2. Требуется построить изображение биссектрисы угла \(B\), то есть провести из точки \(B_1\) отрезок, делящий угол \(A_1B_1C_1\) пополам.

3. Угол при вершине \(B_1\) равен \(60^\circ\), значит биссектриса делит его на два угла по \(30^\circ\).

4. По свойству биссектрисы: она делит противоположную сторону \(A_1C_1\) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть \(\frac{A_1K_1}{K_1C_1} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\), где \(K_1\) — точка пересечения биссектрисы с \(A_1C_1\).

5. Пусть \(A_1C_1 = a\), \(B_1C_1 = b\), \(A_1B_1 = c\). Для прямоугольного треугольника с углом \(A_1 = 30^\circ\): \(A_1C_1 = a\), \(B_1C_1 = a \cdot \tan 30^\circ = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(A_1B_1 = a \cdot \frac{1}{\cos 30^\circ} = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\).

6. Применяя свойство биссектрисы: \(\frac{A_1K_1}{K_1C_1} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = 2\).

7. Следовательно, \(A_1K_1 = 2K_1C_1\), то есть точка \(K_1\) делит отрезок \(A_1C_1\) в отношении \(2:1\) считая от \(A_1\).

8. На рисунке из точки \(B_1\) проведён отрезок \(B_1K_1\), пересекающий сторону \(A_1C_1\) в точке \(K_1\), причём \(A_1K_1 = 2K_1C_1\).

9. Таким образом, изображение биссектрисы — это отрезок \(B_1K_1\), где \(K_1\) делит \(A_1C_1\) в отношении \(2:1\) от \(A_1\).

10. Ответ: отрезок \(B_1K_1\) — изображение биссектрисы, проведённой из вершины \(B\), а точка \(K_1\) делит \(A_1C_1\) в отношении \(2:1\) от \(A_1\).