ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Эллипс с центром \( O_1 \) является изображением окружности с центром \( O \). Постройте изображение правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.

Вписанный правильный треугольник строится так: на эллипсе отмечают три точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), расположенные равномерно по окружности, и соединяют их отрезками.

Описанный правильный треугольник строится так: через центр эллипса \(O_1\) проводят три касательные к эллипсу, получая точки касания \(M_1\), \(N_1\), \(K_1\), которые соединяют между собой.

В результате получаются два треугольника: \(A_1B_1C_1\) (вписанный) и \(M_1N_1K_1\) (описанный), как на рисунке.

1. Для построения вписанного правильного треугольника в эллипс необходимо выбрать три точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) на эллипсе так, чтобы они делили эллипс на три равные дуги. Это означает, что если мысленно пройти по эллипсу, начиная с точки \(A_1\), то отрезок дуги от \(A_1\) до \(B_1\) будет равен по длине дуге от \(B_1\) до \(C_1\), и дуге от \(C_1\) до \(A_1\). Такой подход обеспечивает равенство всех сторон треугольника \(A_1B_1C_1\), что и есть признак правильного треугольника. После выбора этих точек их соединяют отрезками, получая вписанный правильный треугольник. Важно отметить, что центр эллипса \(O_1\) при этом не обязательно совпадает с центром треугольника, но все вершины треугольника обязательно лежат на эллипсе.

2. Для построения описанного правильного треугольника вокруг эллипса требуется провести треугольник \(M_1N_1K_1\) так, чтобы каждая его сторона касалась эллипса ровно в одной точке. Такие точки называются точками касания. Важно, чтобы расстояния от центра эллипса \(O_1\) до каждой стороны треугольника были одинаковы, поскольку только в этом случае эллипс будет вписанным в треугольник, а треугольник — описанным относительно эллипса. Сначала через центр эллипса проводят прямую, которая будет одной из сторон треугольника, затем находят точки касания этой прямой с эллипсом. Аналогично строят остальные стороны, добиваясь того, чтобы между точками касания был угол \(120^{\circ}\), что соответствует углам правильного треугольника. После этого соединяют точки касания, получая треугольник \(M_1N_1K_1\).

3. Вписанный и описанный треугольники обладают следующими свойствами. Вписанный треугольник \(A_1B_1C_1\) всегда имеет вершины на эллипсе, и его стороны могут быть не равны, если точки выбраны произвольно, но если дуги между точками равны, то треугольник будет правильным. Описанный треугольник \(M_1N_1K_1\) строится так, чтобы эллипс был вписанным в него, то есть все стороны треугольника касаются эллипса. При этом центр эллипса совпадает с центром вписанной окружности треугольника, а радиус эллипса равен расстоянию от центра до любой стороны треугольника. На рисунке вписанный треугольник отмечен вершинами \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), а описанный — вершинами \(M_1\), \(N_1\), \(K_1\). Таким образом, оба треугольника наглядно иллюстрируют понятия вписанности и описанности относительно эллипса.