ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Эллипс с центром \( O_1 \) является изображением окружности с центром \( O \). Постройте изображение квадрата: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около данной окружности.

Пусть окружность с центром \( O \) переходит в эллипс с центром \( O_1 \) при аффинном преобразовании.

1) Вписанный квадрат:
Вершины квадрата лежат на окружности, после преобразования — на эллипсе. Центр квадрата совпадает с центром \( O_1 \). Стороны квадрата не параллельны осям эллипса.

2) Описанный квадрат:
Окружность вписана в квадрат, после преобразования — эллипс вписан в квадрат. Центр квадрата совпадает с \( O_1 \). Стороны квадрата параллельны осям эллипса.

В обоих случаях центр квадратов совпадает с центром эллипса \( O_1 \).

1) Вписанный квадрат.
Пусть дана окружность с центром \( O \) и радиусом \( r \). Вписанный квадрат имеет вершины, лежащие на окружности. После аффинного преобразования окружность превращается в эллипс с центром \( O_1 \). Вписанный квадрат преобразуется в четырёхугольник, вершины которого лежат на эллипсе. Если преобразование сохраняет центр, то центр квадрата совпадает с \( O_1 \). Стороны квадрата образуют с осями эллипса угол \( 45^\circ \), так как диагонали квадрата совпадают с диаметрами окружности. Длина стороны квадрата равна \( r\sqrt{2} \).

2) Описанный квадрат.
Окружность вписана в квадрат, то есть касается его сторон. После аффинного преобразования окружность превращается в эллипс, который касается сторон квадрата. Центр квадрата совпадает с центром эллипса \( O_1 \). Стороны квадрата параллельны осям эллипса. Длина стороны квадрата равна \( 2r \).

В обоих случаях центр квадрата совпадает с центром эллипса \( O_1 \).