ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Параллелограмм \( A_1B_1C_1D_1 \) (рис. 8.40) является изображением квадрата \( ABCD \), точка \( K_1 \) — изображением точки \( K \), принадлежащей стороне \( CD \). Постройте изображение точки \( F \), принадлежащей стороне \( AD \), такой, что \( BF = AK \).

Пусть длина отрезка \(A_1K_1\) равна \(x\).

От точки \(B_1\) на стороне \(A_1D_1\) откладываем отрезок \(B_1F_1 = x\).

Точка \(F_1\) — это точка на стороне \(A_1D_1\), такая, что \(B_1F_1 = A_1K_1\).

1. Пусть квадрат \(ABCD\) переходит в параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) при аффинном преобразовании. Точка \(K\) лежит на стороне \(CD\), её изображение — точка \(K_1\) на стороне \(C_1D_1\).

2. Найдём длину отрезка \(A_1K_1\). Пусть эта длина равна \(x\).

3. Требуется построить точку \(F_1\) на стороне \(A_1D_1\) такую, что длина отрезка \(B_1F_1\) равна \(x\).

4. Для этого из точки \(B_1\) откладываем отрезок \(B_1F_1 = x\) вдоль стороны \(A_1D_1\), то есть параллельно направлению \(A_1D_1\).

5. Полученная точка \(F_1\) и будет искомым изображением точки \(F\).

6. Таким образом, точка \(F_1\) определяется условием \(B_1F_1 = A_1K_1\).

7. Если координаты \(A_1\), \(B_1\), \(D_1\) заданы, а точка \(K_1\) имеет координаты \((x_K, y_K)\), то длина \(A_1K_1\) вычисляется по формуле расстояния: \(x = \sqrt{(x_K — x_{A_1})^2 + (y_K — y_{A_1})^2}\).

8. Точку \(F_1\) на стороне \(A_1D_1\) можно найти, если параметризовать эту сторону: пусть \(A_1 = (x_{A_1}, y_{A_1})\), \(D_1 = (x_{D_1}, y_{D_1})\), тогда любая точка на стороне имеет вид \((x_{A_1} + t(x_{D_1} — x_{A_1}),\ y_{A_1} + t(y_{D_1} — y_{A_1}))\), где \(t \in [0,1]\).

9. Из точки \(B_1\) откладываем отрезок длины \(x\) вдоль направления стороны \(A_1D_1\): если \(B_1 = (x_{B_1}, y_{B_1})\), то точка \(F_1\) имеет координаты \((x_{B_1} + \frac{x}{d}(x_{D_1} — x_{A_1}),\ y_{B_1} + \frac{x}{d}(y_{D_1} — y_{A_1}))\), где \(d = \sqrt{(x_{D_1} — x_{A_1})^2 + (y_{D_1} — y_{A_1})^2}\).

10. В результате точка \(F_1\) — это точка на стороне \(A_1D_1\), для которой выполняется равенство \(B_1F_1 = A_1K_1\).