ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \) (рис. 8.41) является изображением равнобокой трапеции \( ABCD \) (\( BC \parallel AD \)), в которую можно вписать окружность. Постройте изображение точек касания сторон трапеции со вписанной окружностью.

В равнобокой трапеции \(ABCD\), где \(BC \parallel AD\), окружность вписывается тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: \(AB + CD = BC + DA\).

Точки касания вписанной окружности со сторонами трапеции делят каждую боковую сторону на два равных отрезка, а на основаниях точки касания отстоят от концов на одинаковое расстояние.

На изображении точки касания обозначены как \(K\) на \(A_1B_1\), \(M\) на \(B_1C_1\), \(N\) на \(C_1D_1\), \(P\) на \(D_1A_1\). Эти точки построены так, что отрезки \(A_1K = A_1P\), \(B_1K = B_1M\), \(C_1M = C_1N\), \(D_1N = D_1P\).

Таким образом, для построения точек касания на проекции нужно отложить на каждой стороне отрезки, равные друг другу, начиная от вершин, как показано на рисунке.

1. Пусть дана равнобокая трапеция \(ABCD\), в которую можно вписать окружность, то есть выполняется условие \(AB + CD = BC + DA\).

2. Обозначим основания трапеции как \(AB = a\), \(CD = b\), а боковые стороны как \(BC = c\), \(DA = d\).

3. Вписанная окружность касается всех четырёх сторон трапеции. Пусть точки касания на сторонах \(AB, BC, CD, DA\) обозначены как \(K, M, N, P\) соответственно.

4. По свойству касательных от одной точки к окружности: длины касательных от вершины к точкам касания равны. Пусть \(A_1K = A_1P = x\), \(B_1K = B_1M = y\), \(C_1M = C_1N = z\), \(D_1N = D_1P = w\).

5. Тогда для каждой стороны:
\(A_1B_1 = a = x + y\)
\(B_1C_1 = c = y + z\)
\(C_1D_1 = b = z + w\)
\(D_1A_1 = d = w + x\)

6. Складываем попарно:
\((x + y) + (z + w) = a + b\)
\((y + z) + (w + x) = c + d\)

7. Так как \(a + b = c + d\), получаем:
\(x + y + z + w = x + y + z + w\), что согласуется.

8. Точки касания делят каждую сторону на два отрезка: отрезки от концов стороны до точки касания равны между собой для каждой стороны.

9. На изображении проекции трапеции точки касания обозначены как \(K\) на \(A_1B_1\), \(M\) на \(B_1C_1\), \(N\) на \(C_1D_1\), \(P\) на \(D_1A_1\).

10. Для построения точек касания на каждой стороне трапеции необходимо отложить от вершин отрезки, равные соответствующим длинам касательных, как показано на рисунке: \(A_1K = A_1P\), \(B_1K = B_1M\), \(C_1M = C_1N\), \(D_1N = D_1P\).