ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \) (рис. 8.42) является изображением прямоугольной трапеции \( ABCD \) (\( BC \parallel AD, AB \perp AD \)), точка \( O_1 \) — изображение центра окружности, вписанной в эту трапецию. Постройте изображение точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

Вписанная окружность касается всех сторон трапеции в точках, которые лежат на расстоянии радиуса от центра окружности \( O_1 \), причём перпендикулярно этим сторонам.

Построение: из центра \( O_1 \) опускаем перпендикуляры на стороны трапеции \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \). Точки пересечения — точки касания: \( M \) на \( B_1C_1 \), \( P \) на \( D_1A_1 \), \( K \) на \( A_1B_1 \), \( N \) на \( C_1D_1 \).

Ответ на рисунке: \( K, M, N, P \) — это изображения точек касания вписанной окружности со сторонами трапеции.

1. Пусть дана трапеция \( A_1B_1C_1D_1 \) с основаниями \( A_1D_1 \) и \( B_1C_1 \), в которую вписана окружность с центром \( O_1 \).

2. Вписанная окружность касается всех сторон трапеции. Точки касания определяются как точки, в которых расстояние от центра окружности \( O_1 \) до каждой стороны равно радиусу окружности, и это расстояние измеряется по перпендикуляру к стороне.

3. Из центра окружности \( O_1 \) опускаем перпендикуляры к сторонам трапеции \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \). Пересечения этих перпендикуляров со сторонами и будут точками касания.

4. Обозначим точки касания:
\( K \) — точка касания окружности со стороной \( A_1B_1 \);
\( M \) — точка касания окружности со стороной \( B_1C_1 \);
\( N \) — точка касания окружности со стороной \( C_1D_1 \);
\( P \) — точка касания окружности со стороной \( D_1A_1 \).

5. На изображении эти точки отмечены как \( K, M, N, P \), и они лежат на соответствующих сторонах трапеции.

6. Все четыре точки касания расположены так, что из центра \( O_1 \) к каждой из них можно провести перпендикуляр, равный радиусу окружности.

7. Таким образом, точки \( K, M, N, P \) — это изображения точек касания сторон трапеции с вписанной окружностью.

8. Их положение определяется только геометрией трапеции и вписанной окружности, и на рисунке они отмечены в соответствии с этим построением.

9. Если обозначить длины оснований трапеции как \( a \) и \( b \), а боковые стороны как \( c \) и \( d \), то радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
\( r = \frac{S}{\frac{a+b+c+d}{2}} \),
где \( S \) — площадь трапеции.

10. Точки \( K, M, N, P \) на рисунке соответствуют точкам касания вписанной окружности со сторонами \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \) соответственно.