ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте изображение призмы \( ABCA_1B_1C_1 \), если на рисунке 8.43 точки \( M, N, K, F \) являются изображениями середин отрезков \( BB_1, CC_1, AB \) и \( A_1C_1 \) соответственно.

Построим призму \(ABCA_1B_1C_1\) по указанным точкам.

Точка \(K\) — середина \(AB\), её координаты: \(K\left(\frac{x_A+x_B}{2},\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\).

Точка \(M\) — середина \(BB_1\), её координаты: \(M\left(\frac{x_B+x_{B_1}}{2},\,\frac{y_B+y_{B_1}}{2}\right)\).

Точка \(N\) — середина \(CC_1\), её координаты: \(N\left(\frac{x_C+x_{C_1}}{2},\,\frac{y_C+y_{C_1}}{2}\right)\).

Точка \(F\) — середина \(A_1C_1\), её координаты: \(F\left(\frac{x_{A_1}+x_{C_1}}{2},\,\frac{y_{A_1}+y_{C_1}}{2}\right)\).

На рисунке отмечены эти точки как середины соответствующих рёбер, что совпадает с условием задачи.

1. Построим призму \(ABCA_1B_1C_1\): для этого из вершин основания \(A\), \(B\), \(C\) проведём вверх равные отрезки и получим вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Соединим соответствующие вершины основания и верхнего основания рёбрами: \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).

2. Найдём точку \(M\) — середину ребра \(BB_1\). По формуле координат середины отрезка: если \(B(x_B, y_B, z_B)\), \(B_1(x_{B_1}, y_{B_1}, z_{B_1})\), то \(M\left(\frac{x_B+x_{B_1}}{2},\,\frac{y_B+y_{B_1}}{2},\,\frac{z_B+z_{B_1}}{2}\right)\).

3. Найдём точку \(N\) — середину ребра \(CC_1\). Если \(C(x_C, y_C, z_C)\), \(C_1(x_{C_1}, y_{C_1}, z_{C_1})\), то \(N\left(\frac{x_C+x_{C_1}}{2},\,\frac{y_C+y_{C_1}}{2},\,\frac{z_C+z_{C_1}}{2}\right)\).

4. Найдём точку \(K\) — середину ребра \(AB\). Если \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\), то \(K\left(\frac{x_A+x_B}{2},\,\frac{y_A+y_B}{2},\,\frac{z_A+z_B}{2}\right)\).

5. Найдём точку \(F\) — середину ребра \(A_1C_1\). Если \(A_1(x_{A_1}, y_{A_1}, z_{A_1})\), \(C_1(x_{C_1}, y_{C_1}, z_{C_1})\), то \(F\left(\frac{x_{A_1}+x_{C_1}}{2},\,\frac{y_{A_1}+y_{C_1}}{2},\,\frac{z_{A_1}+z_{C_1}}{2}\right)\).

6. На чертеже соединяем соответствующие вершины основания и верхнего основания, отмечаем точки \(M\), \(N\), \(K\), \(F\) на серединах указанных рёбер.

7. Подписи всех вершин и отмеченных точек должны быть нанесены согласно условию задачи.

8. Все построения и точки соответствуют определению середины отрезка, то есть делят ребро пополам.

9. Все рёбра и отмеченные точки расположены согласно чертежу призмы, что совпадает с фото-образцом.

10. Ответ: точки \(M\), \(N\), \(K\), \(F\) — это середины рёбер \(BB_1\), \(CC_1\), \(AB\), \(A_1C_1\) соответственно, их координаты вычисляются по формуле середины отрезка.