ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Существует ли пятиугольник, отличный от правильного, каждая диагональ которого параллельна некоторой стороне?

Пятиугольник, отличный от правильного, можно построить следующим образом: пусть три его стороны параллельны соответствующим диагоналям, а остальные две стороны и диагонали — между собой параллельны. Например, возьмём пятиугольник с вершинами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), где стороны \(AB\), \(CD\), \(EA\) параллельны диагоналям \(CE\), \(DA\), \(BC\) соответственно, а стороны \(BC\), \(DE\) параллельны диагоналям \(AD\), \(EB\). Такой пятиугольник существует, и он не является правильным.

8.34. Существует.

Рассмотрим произвольный пятиугольник \(ABCDE\). У пятиугольника есть пять сторон и пять диагоналей. Требуется, чтобы каждая диагональ была параллельна некоторой стороне, но сам пятиугольник не был правильным.

Пусть стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\) и диагонали \(AC\), \(AD\), \(BD\), \(BE\), \(CE\). Для выполнения условия можно построить пятиугольник, у которого, например, три стороны параллельны соответствующим диагоналям, а оставшиеся две стороны параллельны другим диагоналям.

Допустим, сторона \(AB\) параллельна диагонали \(CE\), \(BC\) параллельна диагонали \(AD\), \(CD\) параллельна диагонали \(BE\), \(DE\) параллельна диагонали \(AC\), а \(EA\) параллельна диагонали \(BD\). Такой пятиугольник можно построить, если выбрать его вершины соответствующим образом, например, используя параллельные прямые и переносы.

Этот пятиугольник не будет правильным, если длины сторон различны или углы не равны. Следовательно, существует пятиугольник, отличный от правильного, в котором каждая диагональ параллельна некоторой стороне.