ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны три луча ОА, ОВ и ОС, а также точки M, N и К (рис. 8.45). Постройте треугольник так, чтобы его вершины лежали на данных лучах, а стороны содержали точки M, N и К по одной на каждой стороне.

Пусть вершины треугольника \(A\), \(B\), \(C\) лежат соответственно на лучах \(OA\), \(OB\), \(OC\).

Проведём через точку \(M\) прямую, которая пересекает лучи \(OB\) и \(OC\) в точках \(B\) и \(C\).

Проведём через точку \(N\) прямую, которая пересекает лучи \(OA\) и \(OC\) в точках \(A\) и \(C\).

Проведём через точку \(K\) прямую, которая пересекает лучи \(OA\) и \(OB\) в точках \(A\) и \(B\).

Треугольник \(ABC\) будет иметь вершины на заданных лучах, а его стороны будут проходить через точки \(M\), \(N\), \(K\) по одной на каждой стороне.

1. Пусть даны три луча \(OA\), \(OB\), \(OC\), исходящие из одной точки \(O\), и три точки \(M\), \(N\), \(K\), каждая из которых не лежит на этих лучах.

2. Требуется построить треугольник так, чтобы его вершины \(A\), \(B\), \(C\) лежали соответственно на лучах \(OA\), \(OB\), \(OC\), а стороны \(AB\), \(BC\), \(CA\) проходили через точки \(M\), \(N\), \(K\).

3. Проведём через точку \(M\) произвольную прямую, пересекающую лучи \(OB\) и \(OC\) в точках \(B\) и \(C\). Обозначим эти точки пересечения как \(B\) и \(C\).

4. Через точку \(N\) проведём прямую, пересекающую лучи \(OA\) и \(OC\) в точках \(A\) и \(C’\). Обозначим точку на \(OC\) как \(C’\).

5. Через точку \(K\) проведём прямую, пересекающую лучи \(OA\) и \(OB\) в точках \(A’\) и \(B’\).

6. Найдём общие точки пересечения: точка \(A\) — это пересечение луча \(OA\) с прямыми \(KN\) и \(NA\), точка \(B\) — это пересечение луча \(OB\) с прямыми \(KM\) и \(MB\), точка \(C\) — это пересечение луча \(OC\) с прямыми \(NM\) и \(MC\).

7. В результате построения получаем треугольник \(ABC\), где \(A\) лежит на \(OA\), \(B\) — на \(OB\), \(C\) — на \(OC\).

8. Сторона \(AB\) проходит через точку \(K\), сторона \(BC\) проходит через точку \(M\), сторона \(CA\) проходит через точку \(N\).

9. Такое построение возможно, так как для любой конфигурации лучей и точек \(M\), \(N\), \(K\) существует единственный треугольник, удовлетворяющий этим условиям.

10. Таким образом, построенный треугольник \(ABC\) обладает требуемыми свойствами: его вершины лежат на заданных лучах, а стороны содержат точки \(M\), \(N\), \(K\) по одной на каждой стороне.