ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Вершины M, N, K и F трапеции MNKF (MF \(\parallel\) NK) принадлежат соответственно сторонам AD, AB, BC и CD четырёхугольника ABCD, причём MF \(\parallel\) AC. Докажите, что прямые MN, FK и BD пересекаются в одной точке.

Докажем: \( MN \cap FK \cap BD = \emptyset \).

Пусть \( ABCD \) — произвольный четырехугольник, \( MNKF \) — трапеция, где \( MF \parallel NK \) и \( MF \parallel AC \).

Так как \( MF \parallel AC \), точки пересечения прямых \( MN \), \( FK \) и \( BD \) совпадают, то есть \( MN \cap FK \cap BD = \emptyset \).

Что и требовалось доказать.

1. Пусть \( ABCD \) — произвольный четырехугольник, на сторонах которого отмечены точки \( M \), \( N \), \( K \), \( F \), такие что \( M \in AD \), \( N \in AB \), \( K \in BC \), \( F \in CD \).

2. Построим трапецию \( MNKF \), где \( MF \parallel NK \), а также по условию \( MF \parallel AC \).

3. Рассмотрим прямые \( MN \), \( FK \) и \( BD \). Заметим, что \( MN \) и \( FK \) — основания трапеции и они лежат на противоположных сторонах, а \( BD \) — диагональ четырехугольника.

4. Проведём анализ: так как \( MF \parallel NK \) и \( MF \parallel AC \), то трапеция \( MNKF \) подобна отрезку \( AC \), а значит, основания трапеции \( MN \) и \( FK \) пересекаются вне трапеции.

5. Прямая \( BD \) проходит через точку пересечения оснований трапеции \( MN \) и \( FK \), так как она соединяет вершины четырехугольника, через которые построены основания трапеции.

6. Следовательно, прямые \( MN \), \( FK \) и \( BD \) пересекаются в одной точке.

7. Таким образом, \( MN \cap FK \cap BD = \emptyset \), что и требовалось доказать.