ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольник АВС вписан параллелограмм ADKF так, что точки D, K и F принадлежат сторонам AB, ВС и СА соответственно. Медиана АМ треугольника АВС пересекает отрезок DK в точке N. Докажите, что DN = FC.

В треугольнике \(ABC\) вписан параллелограмм \(ADKF\), точки \(D, K, F\) лежат на сторонах \(AB, BC, CA\) соответственно. Медиана \(AM\) пересекает \(DK\) в точке \(N\).

Так как \(ADKF\) — параллелограмм, то \(DK = AF\) и \(\angle DKF = \angle AFD\).

Треугольники \(DBN\) и \(FKC\) равны по двум признакам:
1) \(DB = FK\) (стороны параллелограмма равны),
2) \(\angle DBN = \angle FKC\) (углы равны как вертикальные при пересечении медианы и стороны).

Следовательно, \(DN = FC\).

1. Пусть \(ADKF\) — параллелограмм, вписанный в треугольник \(ABC\), причем точки \(D, K, F\) лежат на сторонах \(AB, BC, CA\) соответственно. Из свойств параллелограмма следует, что \(AD = KF\), \(DK = AF\), противоположные стороны равны и параллельны, а также \(\angle ADK = \angle KAF\) и \(\angle DKA = \angle AFK\).

2. Медиана \(AM\) треугольника \(ABC\) пересекает отрезок \(DK\) в точке \(N\). По свойству медианы точка \(M\) — середина стороны \(BC\).

3. Рассмотрим треугольники \(DBN\) и \(FKC\). Так как \(ADKF\) — параллелограмм, то \(DB = FK\) (так как \(D\) и \(F\) — соответствующие вершины параллелограмма на сторонах \(AB\) и \(CA\)), а также углы при этих сторонах равны: \(\angle DBN = \angle FKC\).

4. Докажем равенство углов. Поскольку медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам, а точки \(N\) и \(C\) лежат на одной прямой с вершинами \(B\) и \(K\), то \(\angle DBN = \angle FKC\) как вертикальные углы при пересечении медианы и стороны параллелограмма.

5. Следовательно, по двум признакам равенства треугольников (\(DB = FK\) и \(\angle DBN = \angle FKC\)), треугольники \(DBN\) и \(FKC\) равны.

6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(DN = FC\).