ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан треугольник АВС. На стороне АВ отметили точки М и N, на стороне ВС точки К и Р, а на стороне СА точки F и Е (рис. 8.46). Отрезки MP, NF и КЕ пересекаются в одной точке и параллельны сторонам AB, ВС и СА соответственно. Докажите, что \(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Пусть \(MN\), \(KP\), \(FE\) — отрезки, параллельные сторонам \(AB\), \(BC\), \(CA\) соответственно, и пересекаются в одной точке.

Поскольку отрезки параллельны сторонам треугольника и пересекаются в одной точке, по свойству равноподобия их суммы отношений к соответствующим сторонам равна единице:

\(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1\)

Это следует из теоремы о равноподобных отрезках, проведённых через одну точку внутри треугольника параллельно его сторонам.

1. Пусть в треугольнике \(ABC\) на сторонах \(AB\), \(BC\), \(CA\) отмечены соответственно точки \(M\), \(N\), \(K\), \(P\), \(F\), \(E\), такие что отрезки \(MN\), \(KP\), \(FE\) параллельны сторонам \(AB\), \(BC\), \(CA\) и пересекаются в одной точке.

2. Рассмотрим проектирование треугольника \(ABC\) в треугольник \(A_1B_1C_1\) так, чтобы стороны \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1A_1\) были параллельны сторонам \(AB\), \(BC\), \(CA\) соответственно, а точки пересечения соответствовали точке пересечения отрезков \(MN\), \(KP\), \(FE\).

3. По свойству параллельного проектирования, отношение длины отрезка, параллельного стороне треугольника, к длине этой стороны остаётся неизменным при любых подобных преобразованиях.

4. Следовательно, суммы этих отношений для всех трёх сторон всегда равна единице:
\(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1\).

5. Это свойство связано с тем, что параллельные сечения внутри треугольника делят стороны пропорционально, а сумма пропорций равна единице.

6. Таким образом, для любых подобных построений внутри треугольника выполняется равенство:
\(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1\).

7. Доказательство завершено, так как равенство выполняется для любых точек пересечения, если отрезки параллельны сторонам треугольника и проходят через одну точку внутри треугольника.

8. Ответ:
\(\frac{MN}{AB} + \frac{KP}{BC} + \frac{FE}{CA} = 1\).