ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) является изображением правильного треугольника \( ABC \) (рис. 8.26). Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник \( ABC \).

Центр вписанной окружности треугольника \(ABC\) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Поскольку треугольник \(A_1B_1C_1\) подобен \(ABC\), центр вписанной окружности треугольника \(ABC\) соответствует точке \(O\) — пересечению биссектрис в треугольнике \(A_1B_1C_1\).

Таким образом, чтобы построить центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), нужно провести биссектрисы углов \(A\), \(B\), \(C\) и отметить точку их пересечения.

1. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения биссектрис всех трёх углов треугольника. Обозначим этот центр как \(O\).

2. В треугольнике \(A_1B_1C_1\), подобном треугольнику \(ABC\), проведены биссектрисы углов \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\), которые пересекаются в точке \(O\).

3. По свойству подобия треугольников, соответствующие углы равны, а биссектрисы сохраняют своё направление. Следовательно, точка \(O\) — центр вписанной окружности треугольника \(A_1B_1C_1\) и соответствует центру вписанной окружности треугольника \(ABC\).

4. Для построения центра вписанной окружности треугольника \(ABC\) необходимо провести биссектрисы углов \(A\), \(B\) и \(C\).

5. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам, то есть угол между биссектрисой и каждой стороной угла равен \( \frac{1}{2} \) соответствующего угла.

6. Проведя биссектрисы, найдём точку их пересечения \(O\), которая и будет центром вписанной окружности.

7. Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника, то есть расстояния от \(O\) до сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) равны.

8. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки \(O\) до любой стороны треугольника.

9. Таким образом, построение центра вписанной окружности сводится к точному проведению биссектрис и нахождению их пересечения.

10. В итоге, точка \(O\), пересечение биссектрис треугольника \(ABC\), является искомым центром вписанной окружности.