ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах АВ и CD отметили точки М и К так, что отрезок МК параллелен основаниям трапеции и делит трапецию на две равновеликие части. Найдите отрезок МК.

Площадь трапеции равна \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \).

Пусть средняя линия \( MK \) делит трапецию на две равные части.

Сумма квадратов оснований: \( 2^2 + 14^2 = 4 + 196 = 200 \).

Средняя линия: \( MK = \sqrt{ \frac{200}{2} } = \sqrt{100} = 10 \) см.

Ответ: \( 10 \) см.

1. Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) см и \(AD = 14\) см. Через точку \(M\) на боковой стороне проведена прямая \(MK\), параллельная основаниям, так что площадь трапеции \(ABCK\) равна площади трапеции \(MKD\).

2. Площадь всей трапеции:
\( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \).

3. Так как \(MK\) делит трапецию на две равные по площади части, то площадь каждой части:
\( S_1 = S_2 = \frac{S}{2} \).

4. Пусть высота трапеции — \(h\), а высота меньшей трапеции — \(h_1\).

5. Площадь меньшей трапеции \(MKD\):
\( S_{MKD} = \frac{MK + BC}{2} \cdot h_1 \).

6. Площадь большей трапеции \(ABCK\):
\( S_{ABCK} = \frac{AD + MK}{2} \cdot (h — h_1) \).

7. По условию \( S_{MKD} = S_{ABCK} \).

8. Для средней линии, делящей трапецию на две равные части, используется формула:
\( MK = \sqrt{ \frac{BC^2 + AD^2}{2} } \).

9. Подставим значения:
\( MK = \sqrt{ \frac{2^2 + 14^2}{2} } = \sqrt{ \frac{4 + 196}{2} } = \sqrt{ \frac{200}{2} } = \sqrt{100} = 10 \) см.

10. Ответ: \( 10 \) см.