ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Эллипс с центром \( O_1 \) является изображением окружности с центром \( O \) (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольного треугольника, вписанного в данную окружность.

Дано: эллипс с центром \(O_1\), являющийся изображением окружности с центром \(O\).

Построим прямоугольный треугольник \(ABC\), вписанный в окружность.

Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на эллипсе. Угол \(ABC\) прямой, так как угол, опирающийся на диаметр \(AC\), равен \(90^\circ\).

Соединим точки \(A\), \(B\), \(C\) отрезками. Тогда треугольник \(ABC\) будет прямоугольным, вписанным в окружность, а его изображение на эллипсе совпадёт с рисунком.

1. Дано окружность с центром \(O\) и эллипс с центром \(O_1\), являющийся проекцией этой окружности.

2. Треугольник \(ABC\) вписан в окружность, значит точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности.

3. По условию угол \(ABC\) прямой, то есть \(\angle ABC = 90^\circ\).

4. Известно, что угол, опирающийся на диаметр окружности, равен \(90^\circ\). Следовательно, отрезок \(AC\) является диаметром окружности.

5. Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на эллипсе — проекции окружности, поэтому треугольник \(ABC\) изображён на эллипсе.

6. Центр эллипса \(O_1\) является проекцией центра окружности \(O\), следовательно, свойства вписанного треугольника сохраняются.

7. Соединим точки \(A\), \(B\), \(C\) отрезками, получим треугольник с прямым углом при вершине \(B\).

8. Таким образом, треугольник \(ABC\) — прямоугольный, вписанный в окружность, изображённый на эллипсе.

9. Угол \(ABC = 90^\circ\) подтверждается тем, что \(AC\) — диаметр, а \(B\) лежит на окружности.

10. Итог: треугольник \(ABC\) прямоугольный, вписанный в окружность с диаметром \(AC\), проекция которого — эллипс с центром \(O_1\).