ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Эллипс с центром \( O_1 \) является изображением окружности с центром \( O \) (рис. 8.28). Постройте изображение какого-либо прямоугольника, вписанного в данную окружность.

Прямая проекция окружности с центром \( O \) — эллипс с центром \( O_1 \). Вписанный в окружность прямоугольник \( ABCD \) проецируется в четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \), вписанный в эллипс.

Для построения изображения прямоугольника нужно: выбрать четыре точки на эллипсе \( A_1, B_1, C_1, D_1 \), соответствующие вершинам прямоугольника, так чтобы угол \( \angle C_1D_1 \) был прямым.

Таким образом, изображение прямоугольника — четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \) с вершинами на эллипсе и одним прямым углом, как показано на рисунке.

1. Пусть окружность с центром \( O \) задана уравнением \( x^2 + y^2 = R^2 \). Вписанный в неё прямоугольник \( ABCD \) имеет вершины на окружности, и все углы прямые.

2. При проецировании окружности под углом получается эллипс с центром \( O_1 \), уравнение которого можно записать как \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), где \( a \) и \( b \) — полуоси эллипса.

3. Проекция прямоугольника \( ABCD \) на плоскость проекции даёт четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \), вписанный в эллипс, то есть вершины \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) удовлетворяют уравнению эллипса.

4. Для построения точек \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) на эллипсе выбираются такие координаты, что проекция сохраняет свойство прямого угла, например угол \( \angle C_1D_1 = 90^\circ \).

5. Проверка прямого угла осуществляется через скалярное произведение векторов: если \( \overrightarrow{D_1C_1} \cdot \overrightarrow{D_1B_1} = 0 \), то угол при \( D_1 \) прямой.

6. Координаты точек \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) вычисляются из соотношений эллипса и условия перпендикулярности, учитывая параметры проекции.

7. Соединяя точки \( A_1B_1C_1D_1 \) последовательно, получаем четырёхугольник, вписанный в эллипс.

8. Таким образом, изображение прямоугольника, вписанного в окружность, на проекции — четырёхугольник \( A_1B_1C_1D_1 \), вписанный в эллипс с сохранением одного прямого угла.

9. Центр эллипса \( O_1 \) является проекцией центра окружности \( O \), и служит центром симметрии для четырёхугольника.

10. Итог: построение изображения сводится к нахождению точек на эллипсе, удовлетворяющих условию прямого угла, что подтверждает правильность проекции прямоугольника на эллипс.