ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 8.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \( A_1B_1C_1 \) — изображение треугольника \( ABC \). Постройте изображение биссектрисы треугольника \( ABC \), проведённой из вершины \( B \), если \( AB : BC = 1 : 2 \).

Биссектриса из вершины \( B \) делит сторону \( AC \) в отношении сторон \( AB \) и \( BC \).

Так как \( AB : BC = 1 : 2 \), точка \( B_2 \) на стороне \( A_1C_1 \) делит её в отношении \( 1 : 2 \).

Следовательно, биссектриса проведена из \( B_1 \) к точке \( B_2 \), которая делит \( A_1C_1 \) на отрезки \( A_1B_2 \) и \( B_2C_1 \) в отношении \( 1 : 2 \).

1. Рассмотрим треугольник \( A_1B_1C_1 \), который является изображением треугольника \( ABC \).

2. Известно, что биссектриса, проведённая из вершины \( B \), делит сторону \( AC \) в отношении, равном отношению прилежащих сторон \( AB \) и \( BC \).

3. По условию задачи отношение сторон равно \( AB : BC = 1 : 2 \).

4. Следовательно, точка \( B_2 \), которая является основанием биссектрисы из вершины \( B_1 \), делит сторону \( A_1C_1 \) в отношении \( 1 : 2 \).

5. Это означает, что длина отрезка \( A_1B_2 \) составляет треть всей длины \( A_1C_1 \), а длина отрезка \( B_2C_1 \) — две трети.

6. Для построения точки \( B_2 \) на стороне \( A_1C_1 \) необходимо отложить от \( A_1 \) отрезок, равный \( \frac{1}{3} \) длины \( A_1C_1 \).

7. Таким образом, \( B_2 \) — это точка на стороне \( A_1C_1 \), для которой выполняется равенство \( \frac{A_1B_2}{B_2C_1} = \frac{1}{2} \).

8. Теперь биссектриса \( B_1B_2 \) — это отрезок, соединяющий вершину \( B_1 \) с точкой \( B_2 \) на стороне \( A_1C_1 \).

9. Этот отрезок делит угол при вершине \( B_1 \) пополам и соответствует биссектрисе треугольника \( ABC \).

10. Таким образом, изображение биссектрисы из вершины \( B \) — это отрезок \( B_1B_2 \), где \( B_2 \) делит сторону \( A_1C_1 \) в отношении \( 1 : 2 \).