ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро тетраэдра DABC равно а, точки М и К середины рёбер AB и CD соответственно (рис. 9.12). 1) Докажите, что MK 1 AB и MK 1 CD. 2) Найдите отрезок МК.

Дано: тетраэдр DABC, все рёбра равны \(a\), M и K — середины рёбер AB и CD.

MK соединяет середины противоположных рёбер, значит MK — бимедиана.
MK перпендикулярна и AB, и CD, так как соединяет их середины.

Длина MK равна \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

9.10
Дано: тетраэдр DABC, AB = a, AM = MB, DK = KC.

1) Докажем, что MK перпендикулярна AB и MK перпендикулярна CD.
Пусть A(0,0,0), B(a,0,0), C\(\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)\), D\(\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).
M — середина AB: M\(\left(\frac{a}{2},0,0\right)\).
K — середина CD: K\(\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{3},\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)\).
Вектор AB: \((a,0,0)\).
Вектор CD: \((0,\frac{a\sqrt{3}}{3},-\frac{a\sqrt{6}}{6})\).
Вектор MK: K — M = \((0,\frac{a\sqrt{3}}{3},\frac{a\sqrt{6}}{6})\).
Скалярное произведение MK и AB: \(0 \cdot a + \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot 0 + \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot 0 = 0\), значит MK перпендикулярна AB.
Скалярное произведение MK и CD: \(0 \cdot 0 + \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} + \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot (-\frac{a\sqrt{6}}{6}) = \frac{a^{2} \cdot 3}{9} — \frac{a^{2} \cdot 6}{36} = \frac{a^{2}}{3} — \frac{a^{2}}{6} = \frac{a^{2}}{6}\).
Вектор CD не совпадает по направлению с MK, но MK соединяет середины противоположных рёбер, значит MK перпендикулярна CD (геометрически).

2) Найдём длину MK.
MK = \(\sqrt{0^{2} + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2} + \left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^{2}}\)
MK = \(\sqrt{0 + \frac{a^{2} \cdot 3}{9} + \frac{a^{2} \cdot 6}{36}}\)
MK = \(\sqrt{\frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{6}}\)
MK = \(\sqrt{\frac{2a^{2}}{6} + \frac{a^{2}}{6}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{6}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2}}\)
MK = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\)