ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали грани ABCD куба ABCDA,B,C,D, пересекаются в точке О. Найдите угол между прямыми OB1 и А,С1.

\(AC \parallel A_1C_1\), поэтому угол между \(OB_1\) и \(A_1C_1\) равен углу между \(OB_1\) и \(AC\).

В треугольнике \(AB_1C\) медиана \(OB_1\) также является высотой, так как треугольник равнобедренный.

Следовательно, угол между \(OB_1\) и \(AC\) равен \(90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).

1. Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\).

2. Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей грани \(ABCD\). Координаты \(O\): найдём середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Диагональ \(AC\): середина \( \left( \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \). Диагональ \(BD\): середина \( \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \). Значит, \(O\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right)\).

3. Прямая \(OB_1\): \(O\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right)\), \(B_1(a,0,a)\). Вектор \( \overrightarrow{OB_1} = (a — \frac{a}{2}, 0 — \frac{a}{2}, a — 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, a) \).

4. Прямая \(A_1C_1\): \(A_1(0,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\). Вектор \( \overrightarrow{A_1C_1} = (a — 0, a — 0, a — a) = (a, a, 0) \).

5. Найдём косинус угла между \( \overrightarrow{OB_1} \) и \( \overrightarrow{A_1C_1} \) по формуле: \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OB_1} \cdot \overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{OB_1}| \cdot |\overrightarrow{A_1C_1}|} \).

6. Скалярное произведение: \( \overrightarrow{OB_1} \cdot \overrightarrow{A_1C_1} = \frac{a}{2} \cdot a + (-\frac{a}{2}) \cdot a + a \cdot 0 = \frac{a^{2}}{2} — \frac{a^{2}}{2} + 0 = 0 \).

7. Длина \( |\overrightarrow{OB_1}| = \sqrt{ (\frac{a}{2})^{2} + (-\frac{a}{2})^{2} + a^{2} } = \sqrt{ \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4} + a^{2} } = \sqrt{ \frac{a^{2}}{2} + a^{2} } = \sqrt{ \frac{3a^{2}}{2} } =\)
\(= a \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} \).

8. Длина \( |\overrightarrow{A_1C_1}| = \sqrt{ a^{2} + a^{2} + 0 } = \sqrt{2a^{2}} = a \sqrt{2} \).

9. Следовательно, \( \cos \theta = \frac{0}{a \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot a \sqrt{2}} = 0 \), значит угол \( \theta = 90^\circ \).

10. Ответ: \(90^\circ\).