ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA B1C1D1 является квадрат, сторона которого равна а, боковое ребро параллелепипеда равно a\3. Найдите угол между прямыми AD1 и B1C.

Даны векторы: \( \overrightarrow{AD_1} = (0, a, a\sqrt{3}) \), \( \overrightarrow{B_1C} = (a, a, -a\sqrt{3}) \).

Скалярное произведение: \( 0 \cdot a + a \cdot a + a\sqrt{3} \cdot (-a\sqrt{3}) = a^2 — 3a^2 = -2a^2 \).

Длина \( \overrightarrow{AD_1} \): \( \sqrt{0^2 + a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a \).

Длина \( \overrightarrow{B_1C} \): \( \sqrt{a^2 + a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 3a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \).

Косинус угла: \( \cos\theta = \frac{-2a^2}{2a \cdot a\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \).

Ответ: угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\) равен \( \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 116{,}6^\circ \).

1. Пусть основание параллелепипеда — квадрат со стороной \( a \), высота равна \( a\sqrt{3} \). Введём координаты: \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \), \( A_1(0, 0, a\sqrt{3}) \), \( B_1(a, 0, a\sqrt{3}) \), \( C_1(a, a, a\sqrt{3}) \), \( D_1(0, a, a\sqrt{3}) \).

2. Вектор \( AD_1 \) имеет координаты \( (0, a, a\sqrt{3}) \).

3. Вектор \( B_1C \) имеет координаты \( (a, a, -a\sqrt{3}) \).

4. Скалярное произведение: \( 0 \cdot a + a \cdot a + a\sqrt{3} \cdot (-a\sqrt{3}) = a^2 — 3a^2 = -2a^2 \).

5. Длина вектора \( AD_1 \): \( \sqrt{0^2 + a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \).

6. Длина вектора \( B_1C \): \( \sqrt{a^2 + a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 3a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \).

7. Косинус угла между векторами: \( \cos\alpha = \frac{-2a^2}{2a \cdot a\sqrt{5}} = \frac{-2a^2}{2a^2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \).

8. Угол: \( \alpha = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \).

9. Ответ: \( \alpha \approx 116{,}6^\circ \).

10. Угол между прямыми \( AD_1 \) и \( B_1C \) равен \( 116{,}6^\circ \).