ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки E и F середины соответственно рёбер AA, и CD куба ABCDA,B,C,D1. Постройте прямую, которая проходит через точку D1, перпендикулярна прямой EF и пересекает отрезок EF.

Поскольку треугольник \( E D_1 F \) равнобедренный, медиана \( D_1O \), проведённая из вершины \( D_1 \) к середине \( EF \), также является высотой.

Следовательно, прямая \( D_1O \) проходит через точку \( D_1 \), перпендикулярна \( EF \) и пересекает отрезок \( EF \) в его середине.

1. Пусть дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точки \( E \) и \( F \) — середины рёбер \( AA_1 \) и \( CD \) соответственно.

2. Отрезок \( EF \) соединяет середины параллельных рёбер куба.

3. Требуется провести прямую через точку \( D_1 \), которая перпендикулярна \( EF \) и пересекает \( EF \).

4. Рассмотрим треугольник \( E D_1 F \). В кубе рёбра \( AA_1 \) и \( CD \) равны, а точки \( E \) и \( F \) — их середины. Следовательно, \( ED_1 = FD_1 \), то есть треугольник \( E D_1 F \) равнобедренный.

5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой.

6. Пусть \( O \) — середина отрезка \( EF \). Тогда прямая \( D_1O \) — это медиана треугольника \( E D_1 F \).

7. Поскольку медиана в равнобедренном треугольнике является также высотой, прямая \( D_1O \) перпендикулярна \( EF \).

8. Прямая \( D_1O \) проходит через точку \( D_1 \), пересекает \( EF \) в его середине и перпендикулярна \( EF \).

9. Таким образом, искомая прямая — это \( D_1O \), где \( O \) — середина отрезка \( EF \).

10. Ответ: прямая \( D_1O \) удовлетворяет всем условиям задачи.