Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Точки E, F, М и К середины соответственно рёбер AB, AD, CD и ВС тетраэдра DABC. Известно, что ЕМ = FK. Найдите угол между прямыми АС и BD.
В тетраэдре \(DABC\) точки \(E, F, M, K\) — середины рёбер \(AB, AD, CD, BC\).
Пусть \(EM = FK\).
Средние линии \(FM\) и \(EK\) параллельны \(AC\), а \(EF\) и \(MK\) — \(BD\).
Четырёхугольник \(EMFK\) — прямоугольник, его стороны параллельны \(AC\) и \(BD\).
В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом \(90^\circ\), значит угол между \(AC\) и \(BD\) равен \(90^\circ\).
1. В тетраэдре \(DABC\) обозначим точки \(E, F, M, K\) как середины рёбер: \(E\) — середина \(AB\), \(F\) — середина \(AD\), \(M\) — середина \(CD\), \(K\) — середина \(BC\).
2. Рассмотрим треугольник \(ABD\). В нём точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\), поэтому отрезок \(EF\) — средняя линия этого треугольника, параллельная основанию \(BD\) и равная по длине \(\frac{1}{2} BD\).
3. Аналогично, в треугольнике \(BCD\) точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(BC\) и \(CD\), поэтому отрезок \(KM\) — средняя линия, параллельная основанию \(BD\) и равная по длине \(\frac{1}{2} BD\).
4. В треугольнике \(ABC\) точки \(E\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(BC\). Тогда отрезок \(EK\) — средняя линия, параллельная основанию \(AC\) и равная по длине \(\frac{1}{2} AC\).
5. В треугольнике \(ACD\) точки \(F\) и \(M\) — середины рёбер \(AD\) и \(CD\). Тогда отрезок \(FM\) — средняя линия, параллельная основанию \(AC\) и равная по длине \(\frac{1}{2} AC\).
6. Таким образом, четырёхугольник \(EMFK\) состоит из двух пар противоположных сторон: \(EF\) и \(KM\) параллельны и равны, как и \(EK\) и \(FM\). Значит, \(EMFK\) — параллелограмм.
7. По условию \(EM = FK\). Так как противоположные стороны равны, параллелограмм становится прямоугольником.
8. Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, а диагонали \(EMFK\) — это отрезки \(AC\) и \(BD\).
9. Следовательно, угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен \(90^\circ\).
10. Ответ: угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен \(90^\circ\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!