ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки М и N середины соответственно рёбер AC и BD тетраэдра DABC. Найдите угол между прямыми MN и ВС, если известно, что ВС = AD, а угол между прямыми ВС и AD равен 30°.

Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AC\) и \(BD\). Вектор \(MN\) соединяет эти середины. Прямые \(BC\) и \(AD\) равны по длине и образуют угол \(30^\circ\).

Поскольку середины соединяются в середине параллелограмма, угол между \(MN\) и \(BC\) равен углу между диагоналями параллелограмма, когда стороны равны и угол между ними \(30^\circ\). В таком случае угол между диагоналями равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

1. Пусть \(A(0,0,0)\), \(C(a,0,0)\). Вектор \(AC\) равен \(a\).

2. Пусть \(D(0,b,0)\). Вектор \(AD\) равен \(b\). Поскольку \(AD = BC\), пусть длина \(b = c\).

3. Пусть \(B(x,y,z)\) выбрана так, чтобы \(BC = c\) и угол между \(AD\) и \(BC\) равен \(30^\circ\).

4. Вектор \(BC = (a — x, -y, -z)\). Вектор \(AD = (0, b, 0)\).

5. Косинус угла между \(AD\) и \(BC\):
\( \cos 30^\circ = \frac{(a — x) \cdot 0 + (-y) \cdot b + (-z) \cdot 0}{c \cdot c} = \frac{-y b}{c^{2}} \).

6. Так как \(c = b\), получаем \( \cos 30^\circ = \frac{-y}{c} \), отсюда \( y = -c \cos 30^\circ = -c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

7. Из условия \(BC = c\), вычисляем
\( (a — x)^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2} \).
Пусть \(z = 0\), тогда
\( (a — x)^{2} + c^{2} \frac{3}{4} = c^{2} \),
\( (a — x)^{2} = c^{2} — c^{2} \frac{3}{4} = c^{2} \frac{1}{4} \),
\( a — x = \frac{c}{2} \),
\( x = a — \frac{c}{2} \).

8. Тогда координаты \(B(a — \frac{c}{2}, -c \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)\).

9. Точка \(M\) — середина \(AC\):
\( M(\frac{a}{2}, 0, 0) \).

10. Точка \(N\) — середина \(BD\):
\( N(\frac{a — \frac{c}{2}}{2}, \frac{b — c \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, 0) \).

11. Вектор \(MN = N — M\):
\( MN = (\frac{a — \frac{c}{2}}{2} — \frac{a}{2}, \frac{b — c \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} — 0, 0) = (-\frac{c}{4}, \frac{c — c \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, 0) \).

12. Вектор \(BC = (a — (a — \frac{c}{2}), 0 — (-c \frac{\sqrt{3}}{2}), 0 — 0) = (\frac{c}{2}, c \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \).

13. Скалярное произведение \(MN \cdot BC = -\frac{c}{4} \cdot \frac{c}{2} + \frac{c — c \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \cdot c \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{c^{2}}{8} + \frac{c (1 — \frac{\sqrt{3}}{2})}{2} \cdot c \frac{\sqrt{3}}{2} \).

14. Вычисляем длины:
\( |MN| = \sqrt{(-\frac{c}{4})^{2} + (\frac{c — c \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})^{2}} \),
\( |BC| = \sqrt{(\frac{c}{2})^{2} + (c \frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = c \).

15. Подставляем и вычисляем угол
\( \cos \alpha = \frac{MN \cdot BC}{|MN| \cdot |BC|} \).

16. После упрощения получаем \( \alpha = 60^\circ \).