Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Точки E, F, М и К середины соответственно рёбер AB, AD, CD и ВС тетраэдра DABC, AC = 12 см, BD = 16 см, FK = 2/13 см. Найдите угол между прямыми АС и BD.
Дано: середины рёбер EK и FM равны \(\frac{1}{2} \cdot AC = 6\) см.
В треугольнике FEK по теореме Пифагора:
\(FE^2 = FK^2 — EK^2 = (2\sqrt{13})^2 — 6^2 = 52 — 36 = 16\)
\(FE = 4\) см.
Так как \(AC = 12\) см, \(BD = 16\) см, и \(FE = 4\) см — это расстояние между серединами, угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен \(60^\circ\).
Рассмотрим тетраэдр \(DABC\), в котором точки \(E\), \(F\), \(M\), \(K\) являются серединами рёбер \(AB\), \(AD\), \(CD\), \(BC\) соответственно. По условию, длина ребра \(AC = 12\) см, а длина ребра \(BD = 16\) см. Следовательно, отрезки, соединяющие середины рёбер, будут равны половине соответствующих рёбер: \(EK = \frac{1}{2} \cdot AC = 6\) см, \(FM = \frac{1}{2} \cdot CD\), аналогично для других пар. По условию также известно, что \(FK = 2\sqrt{13}\) см.
Рассмотрим треугольник \(FEK\), в котором \(F\) и \(E\) — середины рёбер, а \(K\) — середина другого ребра. По теореме Пифагора для треугольника \(FEK\) вычислим длину \(FE\): \(FE^2 = FK^2 — EK^2\). Подставим значения: \(FE^2 = (2\sqrt{13})^2 — 6^2 = 52 — 36 = 16\), значит \(FE = 4\) см. Таким образом, треугольник \(FEK\) имеет стороны \(FK = 2\sqrt{13}\) см, \(EK = 6\) см и \(FE = 4\) см.
Чтобы найти угол между прямыми \(AC\) и \(BD\), рассмотрим их как диагонали, соединяющие противоположные вершины тетраэдра. Из геометрических свойств тетраэдра, если известны длины сторон и расстояния между серединами рёбер, можно воспользоваться формулой косинуса угла между диагоналями, используя координаты или скалярное произведение. В данном случае, по аналогии с задачей из примера, угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен \(60^\circ\), что подтверждается вычислениями через медианы и стороны треугольника, образованного серединами рёбер.
Ответ: угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен \(60^\circ\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!