ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки E, F, М и К середины соответственно рёбер AB, AD, CD и ВС тетраэдра DABC, AC = 12 см, BD = 16 см, FK = 2/13 см. Найдите угол между прямыми АС и BD.

Пусть длина ребра куба \(a\). Вектор \(B_1C = (0, a, -a)\), вектор \(C_1K = \left(-\frac{a}{2}, 0, -a\right)\).

Их скалярное произведение: \(0 \cdot -\frac{a}{2} + a \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) = a^2\).

Длины векторов: \(|B_1C| = a\sqrt{2}\), \(|C_1K| = \frac{a\sqrt{5}}{2}\).

Косинус угла: \(\frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}\).

1. Введём координаты куба с длиной ребра \(a\): \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(D_1(0,a,a)\).

2. Точка \(K\) — середина ребра \(DC\): \(K\left(\frac{a}{2}, a, 0\right)\).

3. Вектор \(B_1C = (a,a,0)-(a,0,a) = (0,a,-a)\).

4. Вектор \(C_1K = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right)-(a,a,a) = \left(-\frac{a}{2},0,-a\right)\).

5. Скалярное произведение: \(0 \cdot -\frac{a}{2} + a \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) = a^2\).

6. Длина \(B_1C: \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

7. Длина \(C_1K: \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\).

8. Косинус угла между векторами: \(\frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a^2}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}}\).

9. Преобразуем: \(\frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}\).

10. Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{5}\).