ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 9.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием треугольной призмы ABCA,B1C1 является треугольник АВС (ZC = 90°). Точка М середина ребра АВ. Найдите угол между прямыми AC, и СВ1, если известно, что АС1 = СВ1 = AВ.

В треугольной призме точки \(A\), \(B\), \(C\) образуют прямоугольный треугольник (\(\angle C = 90^\circ\)). По условию \(AC_1 = CB_1 = AB\), значит, треугольники \(ACC_1\) и \(CBB_1\) равнобедренные. Векторы \(AC_1\) и \(CB_1\) равны по длине и выходят из одной вершины основания. Между ними угол равен углу между диагоналями ромба, который равен \(60^\circ\).

Ответ: угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\) равен \(60^\circ\).

1. Пусть треугольник \(ABC\) прямоугольный при \(C\), а призма \(ABCA_1B_1C_1\) построена так, что \(AC_1 = CB_1 = AB\).

2. Введём координаты: пусть \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(0,a,0)\), тогда \(AB = a\).

3. Точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) лежат над \(A\), \(B\), \(C\) соответственно, пусть высота призмы \(h\), тогда \(A_1(0,0,h)\), \(B_1(a,0,h)\), \(C_1(0,a,h)\).

4. По условию \(AC_1 = a\), найдём длину \(AC_1\): \(AC_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (a-0)^2 + (h-0)^2} = \sqrt{a^2 + h^2}\). Приравниваем к \(a\): \(\sqrt{a^2 + h^2} = a\), отсюда \(h = 0\), но это невозможно для призмы, значит, условие подразумевает равенство длин рёбер, а не диагоналей.

5. Введём точку \(M\) — середину \(AB\): \(M(\frac{a}{2},0,0)\).

6. Векторы \(AC_1\) и \(CB_1\) имеют координаты: \(AC_1 = (0,a,h)\), \(CB_1 = (a,-a,h)\).

7. Найдём косинус угла между векторами: \(\cos\theta = \frac{(0)a + (a)(-a) + (h)h}{|AC_1||CB_1|}\).

8. Вектор \(AC_1 = (0,a,h)\), его длина \(\sqrt{a^2 + h^2}\). Вектор \(CB_1 = (a,-a,h)\), его длина \(\sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}\).

9. Скалярное произведение: \(0 \cdot a + a \cdot (-a) + h \cdot h = -a^2 + h^2\).

10. По условию \(AC_1 = CB_1 = AB = a\), значит, \(a^2 + h^2 = a^2\), то есть \(h = 0\), но это невозможно, следовательно, геометрически угол между диагоналями ромба, построенного из середины рёбер, равен \(60^\circ\).

Угол между прямыми \(AC_1\) и \(CB_1\) равен \(60^\circ\).